Билет №27

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e1, e2, ..., en — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..., n.

В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса.

Пространство n-мерных арифметических векторов Rn с естественным скалярным произведением (x,y) = x1·y1+ x2·y2 + ...+ xn·yn − n-мерное евклидово пространство.

Векторы e1= (1, 0, 0,..., 0, 0), e2= (0, 1, 0,..., 0, 0), ..., en-1= (0, 0, 0,..., 1, 0), en= (0, 0, 0,..., 0, 1),

образуют ортонормированный базис пространства Rn.

Очевидно, что (ei, ej) = 0, если i ≠ j ,(ei, ei) = 1.

Билет №28

Базис e1, e2, … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0 "i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта).

Пусть f1, f2, … , fn — произвольный базис в En . Построим ортогональный базис e1, e2, … , en следующим образом.

Положим

e1 = f1 ,

e2 = f2 + αe1 .

Найдем α из условия ортогональности:

(e1, e2) = 0 Ю (f2, e1) + α (e1, e1) = 0.

Отсюда

α = − (f2, e1)

(e1, e1)

.

Предположим теперь, что уже построена ортогональная система из k − 1 ненулевого вектора — e1, e2, … , ek − 1 . Тогда вектор ek ищем в виде

ek = fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1.

(1)

Из условий ортогональности вектора ek и векторов e1, e2, … , ek − 1

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, e1) = 0,

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, e2) = 0,

… … … … … … … … … … … … … ,

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, ek − 1) = 0

получаем

(fk, e1) + α1 (e1, e1) = 0,

(fk, e2) + α2 (e2, e2) = 0,

… … … … … … … ,

(fk, ek − 1) + αk − 1 (ek − 1, ek − 1) = 0.

Отсюда

α1 = − (fk, e1)

(e1, e1)

, α2 = − (fk, e2)

(e2, e2)

, … , αk − 1 = − (fk, ek − 1)

(ek − 1, ek − 1)

.

Покажем, что построенный таким образом вектор ek ненулевой. Согласно (1) ek есть линейная комбинация векторов e1, … , ek − 1 и fk . В свою очередь, ek − 1 есть линейная комбинация векторов e1, … , ek − 2 и fk − 1 , и т.д. Таким образом, ek есть линейная комбинация векторов f1, f2, … , fk :

ek = β1f1 + β2f2 + … + βk − 1fk − 1 + fk.

Так как система векторов f1, f2, … , fk линейно независима, а коэффициент при fk = 1 ≠ 0 , то ek ≠ θ .

Продолжая этот процесс до k = n , мы построим ортогональную систему из n ненулевых векторов e1, e2, … , en . В n –мерном евклидовом пространстве e1, e2, … , en — ортогональный базис. Орты векторов e1, e2, … , en образуют ортонормированный базис

˜

e

k = ek

|| ek ||

"k = 1,2, … ,n