Билет №18

Вектор - это направленный отрезок.

Суммой векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называется вектор –c(a1+b1;a2+b2),

т.е. –a(a1;a2)+b(b1;b2)=c(a1+b1;a2+b2)

Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство −−AB+−−BC=−−AC

Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов −a и −b. Надо от конца вектора −a отложить вектор равный вектору −b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора −a, а конец - с концом вектора −b, будет суммой векторов −a и −b.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Разностью векторов −a(a1;a2) и −b(b1;b2) называют такой вектор −c(c1c2), который в сумме с вектором −b(b1;b2) дает вектор −a(a1;a2). Таким образом: −c(c1c2) + −b(b1;b2) = −a(a1;a2), откуда c1 = a1 - b1 и c2 = a2 - b2.

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Произведением вектора −a(a1;a2) на число называется вектор −b(b1;b2), такой что

b1 = a1 и b2 = a2. т.е. a(a1;a2)=−b(a1; a2).

Для любых векторов −a(a1;a2), −b(b1;b2) и чисел справедливы два распределительных закона:

(+)−a=−a+−a

(-a+−b)=−a+−b

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

S=−a*−b=−a*−b*cos если угол между векторами равен

Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно 0: S=−a*−b=0

Если векторы −a и −b равны, то S=(−a)2 и говорят о скалярном квадрате вектора. В этом случае cos=1, т.е. S=−a2. Итак, скалярный квадрат вектора совпадает и квадратом его длины: (−a)2=−a2.

Если векторы −a и −b перпендикулярны, то S=−a*−b=0. Векторы −a и −b перпендикулярны в том и только в том случае, когда их скалярное произведение равно нулю.

Для любых векторов −a, −b, −c и числа справедливы равенства:

(−a*−b)= (−a*−b)

−a(−b+−c)=−a−b+−a−c.

Билет №19

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

или

Из формулы (1) следует, что , если - острый угол , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности , если или ).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

Если векторы и заданы своими координатами:

,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Угол между векторами

,

дается формулой , или в координатах

Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

Где единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула