Вопрос 3. (Комплексные числа. Действия на к.Ч. В алгебраической форме)

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая  D < 0 ( здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро - и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1.Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом,при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты. Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c ) + ( b – d ) i.Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число: ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Вопрос 4. (Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент «фи» :

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен:

Аргумент комплексного числа - это угол фи между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan фи = b / a . 

Вопрос 5. (Матрицы. Действия над матрицами (сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц)

Определение: Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Определение: Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Сумма (разность) матриц.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. c_ij = a_ij  b_ij

Обозначение: С = А + В = В + А.

Умножение матрицы на число.

Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

Произведение двух матриц.

Замечание: Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. В противном случае произведение матриц не определено.

Транспонирование матриц

Определение. Матрицу А^Т называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы А^Т.(т.е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

А = ; А^Т=;