Вопрос 6. (Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка).

Для каждой квадратной матрицыопределено число, называемоеопределителем матрицы. Определители играют важную роль в математике, широко применяются в линейной алгебре при решении системы линейных уравнений.

определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца

Пример:

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители (n -1) - го порядка.

Вопрос 7. (Определитель энного порядка. Определение, свойства определителей).

Определитель н-го порядка представляет собой число, которое ставится в соответствии матрицы и которое равно сумме всевозможных произведений её элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы .

Каждое произведение входит в сумму со знаком +, если перестановка 2-х индексов, содержит чётное число индексов и со знаком – если не чётное. При условии, что элементы в произведении расположены в порядке возрастания первых индексов.

Свойства определителей:

1. Величина определителей не изменяется, если транспонировать матрицу к которому ставится соответствие.

2. Если все элементы некоторого ряда определителя равны 0, то определитель равен 0.

3. Если все элементы 3-го ряда определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Если поменять местами соответствующие элементы 2-х параллельных рядов, определитель изменит знак на противоположный.

5. Если соответствующие элементы параллельных рядов пропорциональны или равны, то определитель = 0.

6. Если каждый элемент какого либо ряда определителя состоит из суммы 2-х слагаемых, то он равен сумме 2-х других определителей того же порядка, за исключением элементов указанного ряда, которые….

7. (применяется при обнуливании) Если по всем элементам некоторого ряда элемента прибавить элементы другого ряда, умноженного на одно и тоже число, то величина определителя не измениться .

Вопрос 8. (Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки(столбца). Теорема Лапласа).

Минором (M J) элементам аij определителя н-го порядка называется определитель (n-1) порядка полученный из данного, удалением i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением (обознач: Aij элемента aij), называется его минор взятый со знаком (-1)^i+;j, то есть Aij=(-1)^i+j Mij.

Теорема Лапласа: 1) Всякой определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. 2) Сумма произведений любого ряда определителя на алгебраические дополнения элементов другого параллельного ряда равна 0.