- •Вопрос 3. (Комплексные числа. Действия на к.Ч. В алгебраической форме)
- •Вопрос 4. (Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа).
- •Вопрос 5. (Матрицы. Действия над матрицами (сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц)
- •Вопрос 6. (Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка).
- •Вопрос 7. (Определитель энного порядка. Определение, свойства определителей).
- •Вопрос 8. (Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки(столбца). Теорема Лапласа).
- •Вопрос 9. (Обратная матрица)
- •Вопрос 10. (Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гауса).
- •Вопрос 11. (Система линейных алгебраических уравнений слау. Основные понятия)
- •Вопрос 12. (Решение слау матричным методом).
- •Вопрос 13. (Решение матричных уравнений).
- •Вопрос 14. (Формулы Крамера для решения слау).
- •Вопрос 15. (Исследование слау. Теорема Кронекера – Капелли).
- •Вопрос 16. (Метод Жордана – Гауса для решения слау).
- •Вопрос 17. (Системы координат).
- •Вопрос 18. (Проекция вектора на числовую ось. Координаты вектора. Базис).
- •Вопрос 19. (Свойства геометрических векторов).
- •Вопрос 20. (Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции).
- •Вопрос 21. (Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства).
- •Вопрос 22. (скалярное произведение векторов. Свойства).
- •Вопрос 23. (Векторное произведение векторов).
- •Вопрос 24. (Смешанное произведение векторов. Свойства).
- •Вопрос 25. (Разложение вектора по базису в пдска).
- •Вопрос 26. (Общее уравнение прямой на плоскости).
- •Вопрос 27. (Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом).
- •Вопрос 28. (Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках).
- •Вопрос 29. (Нормальное уравнение прямой).
- •Вопрос 30. (Расстояние от точки до прямой).
- •Вопрос 31. (Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых).
- •Вопрос 32. (Плоскость. Общее уравнение плоскости).
- •Вопрос 33. (Нормальное уравнение плоскости).
- •Вопрос 34. (Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках).
- •Вопрос 35. (Уравнение плоскости, проходящей через три точки).
- •Вопрос 36. (Угол между 2 плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей).
- •Вопрос 37. (Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости в пространстве).
- •Вопрос 38. (Параметрическое задание прямой. Пересечение прямой и плоскости).
- •Вопрос 43. (Общее уравнение кривой второго порядка. Инварианты).
- •Вопрос 44. (Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты).
- •Вопрос 45. (Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования).
Вопрос 15. (Исследование слау. Теорема Кронекера – Капелли).
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1 + x2 + … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Вопрос 16. (Метод Жордана – Гауса для решения слау).
Метод Жордана —Гаусса (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана
Алгоритм
Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицыс другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
После повторения этой процедуры раз получаютверхнюю треугольную матрицу
Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.
Пример
Для решения следующей системы уравнений:
Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:
Проведём следующие действия:
К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.
Получим:
К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
Строку 2 делим на −2
К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.
К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.
В правом столбце получаем решение:
.
Вопрос 17. (Системы координат).
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.
Основные системы:
Декартовы координаты
Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел :
—расстояние от точки P до оси y с учетом знака
—расстояние от точки P до оси x с учетом знака
В пространстве же необходимо уже 3 координаты :
—расстояние от точки P до плоскости yz
—расстояние от точки P до плоскости xz
—расстояние от точки P до плоскости xy
Полярные координаты
Основная статья: Полярная система координат
В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.
Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические и сферические системы координат.
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты.
Основная статья: Цилиндрическая система координат
Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем . В терминах декартовой системы координат,
(радиус) — расстояние от оси z к точке P,
(азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
(высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.
Примечание: в литературе можно встретить пометку z для h; это не принципиально, но нужно следить, какие отметки применяются.
Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение , тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c
Сферические координаты
Основная статья: Сферическая система координат. Сферические координаты — трехмерный аналог полярных