Вопрос 12. (Решение слау матричным методом).

Алгоритм решения достаточно просто. Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы:

21x₁-45x₂-3.5x₃=10

12x₁-16x₂+21x₃=-16

14x₁+13x₂-8x₃=10

Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что быранг основной матрицы

 

A=	21 -45 3.5 12 -16 21 14 13 -8

 

и ранг расширенной матрицы

B=	21 -45 3.5 10 12 -16 21 -19 14 13 -8 10

были равны. Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения

 

A=

21 -45 3.5 12 -16 21 14 13 -8

X=

X1 X2 X3

C=

10 -19 10

, то X=A-1C

Вопрос 13. (Решение матричных уравнений).

Роль матричных уравнений важна в приложениях . Часто используются при расчёте конструкций, когда требуется найти нагрузки в узлах, при условии, что нагрузка на конструкцию не меняется. Аналогичная задача возникает в электротехнике, когда требуется найти напряжение в некоторых элементах при различных высоких напряжений.

Матричные уравнения могут иметь вид: АХ = В, ХА = В, АХВ = С, где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения, необходимо умножить это уравнение наслева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения, нужно найти обратную матрицуи умножить ее на матрицу, стоящие в правой части уравнения.

Вопрос 14. (Формулы Крамера для решения слау).

Теорема: Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определённое формулами.

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы т.е. определитель матрицы А

D = det (a _{i j} ) и n вспомогательных определителей D _i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид: D × x _i = D _i ( i  =  ).                                                

Из следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x _i = D _i / D . Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.