Вопрос 36. (Угол между 2 плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей).

Углом между двумя плоскостями называют угол между их нормальными векторами. Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК) заданы две плоскости своими уравнениями. α: A1x+B1y+C1z+D1=0, β: A2x+B2y+C2z+D2=0. Нормальные векторы этих плоскостей относительно ПДСК имеют следующие координаты: n1={A1, B1, C1}, n2={A2, B2, C2}. cos(α,^β)=n1•n2/|n1|•|n2|=(A1A2+B1B2+C1C2)/( √(A12+B12+C12)•√(A22+B22+C22) ). Из данной формулы следует справедливость двух утверждений: 1) Плоскости α и β, заданные своими общими уравнениями относительно ПДСК перпендикулярны тогда и только тогда, когда A1A2+B1B2+C1C2=0. 2) α || β <=> A1/A2=B1/B2=C1/C2

Вопрос 37. (Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости в пространстве).

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀)параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) иB(x₁,y₁,z₁) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точкуA(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу:

Вопрос 38. (Параметрическое задание прямой. Пересечение прямой и плоскости).

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом:

где (x0, y0) - координаты точки лежащей на прямой, {l, m} - координаты направляющего вектора прямой.

Вопрос 39. (Уравнение окружности).

Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)² + (y – b)² = R², где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .

Вопрос 40. (Эллипс, уравнения и свойства).

Эллипс – геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Коническое уравнение эллипса:

Эксцентриситет эллипса – отношение фокального расстояния к длине большой от эллипса.

Вопрос 41. (Гипербола, уравнение и свойства).

Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух разных точек, называется фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы:

Вопрос 42. (Парабола, уравнение и свойства).

Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от данной точки называемой фокусами данной прямой, называется директрисой.

Каноническое уравнение параболы: y² = 2px ?

Эксцентриситет параболы. По определению …

Свойства параболы:

1)       Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2)       Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.