Функция. Способы задания функции. Область определения и область изменения функции.
Функция – это соответствие между двумя множествами Х и У, при котором каждому элементу множества Х найдется единственный элемент множества У.
Способы задания функции:
Табличный (значения функции задаются в виде табличных значений).
Графический (значения функции задаются в виде графиков).
Аналитический (с помощью формулы).
Описательный способ (свойства функции задаются словесно).
Область определения функции – это множество значений переменной Х, при которых функция принимает действительные значения (обозначается D(f)).
Область изменения функции – это множество значений, которые принимает сама функция (обозначается E(f)).
Предел функции. Теоремы о пределах. Односторонние пределы функции.
Предел функции в заданной точке - это такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
lim f(x) = a
1 Теорема:
Предел суммы есть сумма пределов.
lim (f(x) + u(x)) = lim f(x) + lim u(x)
2 Теорема:
Предел произведения есть произведение пределов.
lim f(x)*u(x) = lim f(x) * lim u(x)
3 Теорема:
Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
4 Теорема:
Предел функции равен функции в предельной точке аргумента.
lim f(x) = f (limx)
Односторонние пределы функции:
Это предел числовой функции , подразумевающий "приближения" к предельной точке с одной стороны. Чтобы функция имела предел необходимо существование односторонних пределов, они должны быть равны и конечны.
Непрерывность функции в точке. Классификация разрывов функции.
Функция непрерывна, если предел функции и ее значение в этой точке равны.
lim f(x) = f(x0) при х->x0
Функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
lim(дельта)y= 0
(дельта)y = y*(x0+(дельта)x) –y(x0) – приращение функции
(дельта)х – приращение аргумента
Функция непрерывна в точке, если существуют конечные односторонние пределы функции и они равны между собой, и равны значению функции в этой точке.
f(x0-0) =f(x0+0) =f(x0) < бесконечность - условия непрерывности функции в точке
Классификация разрывов функции:
Точка разрыва функции – это точка Х0, в которой нарушаются условия непрерывности функции (3).
I род, неустранимый.
Точка Х0называется точкой неустранимого разрыва I рода, если существуют односторонние пределы функции, они конечны, но не равным между собой.
f(x0-0) НЕ равноf(x0+0) < бесконечность
б = | f (x0-0) –f(x0+0) | - скачок
II род, устранимый.
Точка Х0называется точкой устранимого разрыва I рода, если существуют конечные, односторонние пределы функции, они равны между собой, но не равны значения функции в этой точке.
f (x0-0) =f(x0+0) НЕ равноf(x0)
Замечание: устранимый разрыв 1 рода можно искусственно устранить. Для этого надо значение функции f(X0) прировнять к значению.
f (x0) = f (x0+0)
II род.
Точка X0называется точкой разрыва II рода, если хотя бы 1 из односторонних пределов функции или оба не существуют или равны бесконечности.
f
(x0-0) = бесконечность
f
(x0+0) = бесконечность
f
(x0+0)
= бесконечность