4. Элементарные правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.

Правила:

1. Использование замечательных пределов;

2. Применение правила Лопиталя;

3. Производные и дифференциалы высших порядков.

5. Первый замечательный предел.

lim = (0\0) = 1 x->0

lim= (0\0) = 1 x->0

6. Второй замечательный предел.

lim (1+X)^ = (1^∞) = e x->0

lim (1+ )^x = (1^∞) = e x->∞

7. Производная функции. Задача Ньютона.

Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом.

y^| = = lim= lim⧍x->0

Задача Ньютона:

Найти скорость неравномерного прямолинейного движения точки в каждый момент времени t.

Решение:

1. t+⧍t => S(t) + ⧍S = S (t+⧍t)

2. ⧍S=S(t+⧍t) –S(t) - приращение функции

3. Найдем среднюю скорость движения точки, считая, что за небольшой промежуток времени точно двигалась равномерно

V_ср=

4. Найдем мгновенную скорость движения точки.

V_мгн = lim = lim = S^| (t) = = S (t)⧍t->0

8. Механический, геометрический смысл производной функции.

Механический смысл:

1. Скорость неравномерного прямолинейного движения точки равна производной пути по времени.

v(t) = = S^| (t)

2. Ускорение неравномерного движения точки равно:

a = = S^|| (t)

3. Сила переменного тока равна производной количества по времени.

I(t) ==Q^|(t)

Геометрический смысл производной:

y^| = = lim= lim⧍x->0

9. Уравнения касательной и нормали.

Уравнение нормали:

y-y₀=(1\y^| (x₀)) *(x-x₀)

Уравнение касательной:

y-y₀=y^|(x₀)(x-x₀)

10. Правила и формулы дифференцирования.

1. Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной.

2. Производная суммы равна сумме производных.

3. Производная произведения функций.

4. Производная частного функций.

11. Производная сложной функции.

(u(v))^| = u^|(v)*v^|

Сначала находим производную внешней функции u^|(v)

12. Производная неявно заданной функции.

F (x;y) = 0

y_x^| - ?

1. Продифференцируем каждое слагаемое уравнения, считая, что производная

x^|=1; y^|=y^|

2. Из полученного выражения найдем y^|.

x² - y³ = Sin (x-y)

2x – 3y²*y^| = Cos (x-y)(1-y^|)

2x – 3y²*y^| = Cos (x-y) – Cos (x-y)*y^|

Cos (x-y)*y^| - 3y²*y^| = Cos (x-y) – 2x

y^|*(Cos (x-y) – 3y²) = Cos (x-y) – 2x

y^| =

13. Первая, вторая производные параметрически заданной функции.

y_x^’=y_t’ \x_t’

y_xx” = (y_x’)_t’ \x_t’

14. Дифференциал функции и его вычисление.

Дифференциал – это главная часть приращения функции. Линейная относительно ⧍Х и обозначается dy.

dy = y'(x)*⧍x=y’(x)*dx- рабочая формула для вычисления дифференциала функции

dx= x'(x)*⧍x=⧍x

Для того, чтобы найти дифференциал функции, надо производную функции умножить на дифференциал независимой переменной.

15. Правило Лопиталя.

Если существует отношение 2-ух бесконечно малых или 2-ух бесконечно больших функций, то существует и предел их отношения, и он равен пределу отношений их производных, равен пределу отношения их вторых производных и т.д. (0\0; ∞\∞).

lim = lim = lim

16. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные:

y” = (y’)’

y’’’ = (y”)’

y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))’

Дифференциалы:

dy = y’(x) dx

dⁿy = y⁽ⁿ⁾(x) dxⁿ

17. Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Экстремумы функции:

Экстремум – это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

18. Изогнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале, если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Точка перегиба - это точка графика функции, в которой меняется направление выпуклости графика (выпуклый - вогнутый), а вторая производная меняет свой знак.

Обычно находится следующим образом:

1) находим вторую производную

2) приравниваем ее к нулю и решаем уравнение. Полученные корни называются КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ ВТОРОГО РОДА

3) на оси Ох отмечаем эти точки и определяем знаки второй производной на каждом из полученных интервалов

4) как только при переходе через критическую точку вторая производная поменяла знак-вот Вам и точка перегиба...