19. Асимптоты кривой.

Асимптота – это так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

А) Вертикальная.

х=а, где точка х=а является точкой разрыва 2-ого рода, т.е. limf(x) = ∞;x->a+0

Б) Наклонная.

y=kx+b

k=limx->∞

b=lim(y-kx)x->∞

В) Горизонтальная.

y=b

b=limf(x)x->∞

20. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение.

Если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение.

1. Найти производную.

2. Приравнять к нулю.

3. Исследовать знаки производной.

21. Первообразная и неопределенный интеграл и его свойства.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x)

Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных для данной функции.

∫f(x) dx = F(x) + C

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтервальной функции.

( ∫f(x) dx )’ = f(x)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтервальному выражению.

d ( ∫f(x) dx ) = f(x) dx

dy = y’(x) dx

3. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции + произвольная постоянная.

∫ d (F(x)) = F(x) + C

4. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов, от каждого слогаемого отдельно.

∫ (f(x) + u(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫u(x) dx

5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

∫ C*f(x) dx = C ∫ f(x) dx

6. Свойство инвариантности интегральных формул.

∫ f(x) dx = ∫ f(u) du

22. Простейшие приемы интегрирования.

1. Табличное интегрирование.

2. Способ разложения.

3. Метод подведения под знак дифференциала.

Тождественное преобразование подинтегрального выражения и приведения его к табличному виду.

23. Метод интегрирования по частям.

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций, то справедливы формулы:

∫ u dv = uv- ∫vdu

24. Метод замены переменной.

Заключается во введении новой переменной интегрирования.

∫ f(x)dx= ∫f(u(t)) *u’(t)dt

25. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.

Найти: Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями.

1. Отрезок A-Bпроизвольным образом разобьем на N частей.

⧍X_i = X_i – X_i-1

2. Возьмем произвольную.

3. Заменим каждую криволинейную трапецию прямоугольником и вычислим его площадь.

S_произв= f (S_i)*⧍X_i

4. Найдем точно площадь криволинейной трапеции.

S = lim

26. Определенный интеграл и его геометрический смысл, свойства.

Определенный интеграл – это число, равное пределу N-ой интегральной суммы, когда наибольший из частичных отрезков разбиения стремится к нулю при N->∞.

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b.

Свойства:

1. _a∫^b f(x) dx = - _b∫^a f(x) dx

2. _a∫^a f(x) dx = 0

3. _a∫^b dx = b-a

4. Аддитивность: _a∫^b f(x) dx = _a∫^c f(x) dx + _c∫^b f(x) dx;

Справедливо для любого конечного числа разбиения числа A-B.

27. Формула Ньютона-Лейбница. Правила вычисления определенного интеграла.

_a∫^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

28. Метод замены переменной в определенном интеграле.

_a∫^bf(x)dx=_t1∫^t2f(u(t)) *u’(t)dt

29. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

_a∫^b u dv = uv_a|^b - _a∫^b v du

30. Свойства определенного интеграла для четной и нечетной функции на симметричном промежутке.

А) Четная.

_-a∫^a f(x) dx = 2 ₀∫^a f(x) dx

Б)Нечетная.

_-a∫^a f(x) fx = 0

31. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

1. S_ф=_a∫^b f(x) dx

2. S = _a∫^b (y₂(x) – y₁(x)) dx

3. S = _c∫^d (x₂(y) – x₁(y)) dy

32. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения, его порядок.

Найти кривую, проходящую через начало координат tg угла наклона касательной и который равен удвоенной абсциссе

Решение:

Tgα=y’ = 2x

y’ = 2x

1. Перед нами диф. уравнение 1ого порядка.

y(0) = 0 - начальное условия

y’ == 2x

dy = 2x dx

∫ dy = ∫ 2x dx

y = 2 + C

y = x² + C - общее решение

2. Применим начальное условие к общему решению:

0 = 0²+C=>C= 0

y=x²- частное решение

Диф. Уравнение – уравнение вида F (x, y, y'….y⁽ⁿ⁾), гдеFзависит от независимой переменной, функции этой переменной, ее производных и дифференциалов различных порядков.

Порядок диф. Уравнения – это наивысший порядок производной, входящий в данное уравнение.