Билет №1

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда

a = c и b = d.

Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

a + c + i(b + d).

Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

ac – bd + i(ad + bc).

Билет №2

и φ = arg z.

Билет №3

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть

z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2).

Имеем:

Билет №4

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь ,

Билет №5

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

, ,

где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

ТЕОРЕМА БЕЗУ утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел). Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x − a:

P(x) = (x − a)Q(x) + R(x).

Так как deg R(x) < deg(x − a) = 1, то R(x) — многочлен степени не выше 0. Подставляя x = a, поскольку (a − a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a).

Билет №6

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число

det A= =

где M1 <j> - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1j .

Формула

det A =

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.

Число (-1) j+1 M1 <j> называется алгебраическим дополнением элемента a1j.

Пусть Mi <j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (минор элемента aij ).

Число (-1) j+i Mi <j> называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A.

Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

det A===

=

для i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Билет №7

Для определителей справедливы следующие свойства:

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами,

то есть detA-detAT

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому следующие свойства действительны и для столбцов.

2. Определитель меняет свой знак на противоположный при перестановке двух столбцов (строк).

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя.

4. Если одна из строк (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

6. Если все элементы i-го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых: aij=bij+cij, i=l,n

то определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме i-го такие же, как и в заданном определителе, а i-й столбец в одном из слагаемых состоит из элементов bij , в другом – из элементов cij.

4. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавляются соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Билет №8

Определение. Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель -го порядка, который получается, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащий данный элемент. Обозначается .

Вычисление определителя порядка .

Разложение определителя третьего порядка по первой строке, первому столбцу имеет вид:

,

Определитель -го порядка равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Разложение определителя n-го порядка по -й строке имеет вид:

Билет №9

Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(cij), элементы которой определяются равенством aij+bij=cij(i=1,2...,m; j==1,2...,n;).

Произведением матрицы A=(aij) на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число:

Произведением матрицы A=(aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(bij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица C=(cij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е. cij=ai1b1j+ai2b2j+....+aikbkj (i=1,2...,m; j==1,2...,n;)

При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.

Умножение на единичную матрицу.

Совокупность элементов a11,a22,...,anm квадратной матрицы A=(aij) называется главной диагональю матрицы.

Единичной матрицей называется матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю