Билет №25

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

- конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение ( ху )векторов х- (x1, . . . , х n )и y = (y1, . . . , y п )имеет вид (xy)=x1y1+. . .+х n у п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) ( хх)/0, (хх) =0лишь при x=0; 2) ( ху) = (ух)*;3) (a ху) =a( ху);4) (x{y+z}) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши - Буняковского |xу|2[( хх)(уу). Число

наз. нормой (или длиной)вектора х, а угол q между векторами х, у находят из ф-лы cosq= (xy)/|x| |у|. Первоначально евклидовыми наз. пространства, в к-рых выполнены аксиомы евклидовой геометрии, осн. понятиями к-рой являются длина векторов и угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно наз. гильбертовым пространством. Пространство, в к-ром нарушено условие 1) положительности скалярного произведения, наз. псевдоевклидовым пространством. Пространство, в к-ром п четно, а условие 2) заменяется условием ( ху) = --(ух), наз. симплектическим пространством.

Аксиомы скалярного произведения

Говорят, что в линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой упорядоченной паре векторов x, y О X ставится в соответствие действительное число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое символом (x,y) . Причем " x, y, z О X и "α О R выполняются следующие аксиомы:

(y, x) = (x, y) ;

(x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;

(αx, y) = α(x, y) ;

(x, x)>0 "x ≠ θ .

Замечание. Из аксиомы 3 следует, что (θ, θ) = 0 , так как

(θ, θ) = (0 · θ, θ) = 0 · (θ,θ) = 0.

Отсюда и из аксиомы 4 следует, что (x,x) = 0 тогда и только тогда, когда x = θ .

Линейное пространство, в котором определена операция скалярного умножения, называется евклидовым и обычно обозначается E .

Следствия из аксиом.

"x, y, z О E и "α О R

(x, y + z) = (x, y) + (x, z) ;

(x, αy) = α (x, y) ;

(θ, x) = 0 .

Пример 1. - мерное арифметическое пространство , элементами которого служат системы действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения их на число со скалярным произведением

представляет собой хорошо известный пример (конечномерного) евклидова пространства. Ортогональный нормированный базис в нем образуют, например, векторы

,

,

. . . . . . . . . . .

Билет № 26

Норма — структура длины векторов на линейном пространстве.

Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):

1. причём p(x) = 0 только при ;

2. для всех (неравенство треугольника);

3. для любого скаляра α.

Норма обычно обозначается Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.

Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным). Также, нередко применяется выражение «нормированный на», подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине. Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.

Неравенство Коши — Буняковского

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

В конечномерном случае можно заметить, что где площадь параллелограмма, натянутого на векторы x и y.

В общем случае:

Неравество треугольника

Рассмотрим треугольник на плоскости с вершинами

Пусть - расстояние между точками плоскости. Тогда

длина каждой из сторон треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон. Это и есть неравенство треугольника. Для евклидова пространства неравенство треугольника можно записать так. Положим , тогда

Теорема. Пусть унитарное (евклидово) пространство. Тогда для всех выполняется неравенство