Билет № 23

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Система векторов x1, x2, … , xn О X называется линейно зависимой, если существуют числа α1, α2, … , αn О R , не все равные нулю (т.е. α12 + α22 + … + αn2 ≠ 0 ), такие, что

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = θ.

Если это равенство выполняется только при α1 = α2 = … = αn = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x1, x2, … , xn О X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.39).

Следствие. Два вектора x1 и x2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда x1 = αx2 или x2 = βx1 при некоторых α, β О R , т.е. когда векторы x1 и x2 коллинеарны.

Билет №24

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dimXn — размерность пространства Xn .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en О X называется базисом в X , если

система векторов e1, e2, … , en линейно независима;

любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen. (1)

Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2, … , en .

Коэффициенты ξ1, ξ2, … , ξn в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42).

Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e1, e2, … , en называются координатами вектора x в этом базисе.

Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξi = бei, xс и для вектора x = {ξ1, ξ2, … , ξn} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

Ж ξ1 ц

З ξ2 ч

З … ч

З … ч

З … ч

З ч

И ξn ш

который называется координатным столбцом вектора x .

В n–мерном линейном пространстве Xn существует базис. Он содержит n векторов.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43).

Замечания.

1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. С.Г. Крейна (М.: Наука, 1972).

3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44).

Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn . Тогда:

При сложении векторов их координаты складываются.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

бei, x + yс = бei, xс + бei, yс ;

бei, αxс = αбei, xс .

Это означает, что скобки б · , · с обладают свойством линейности по второму аргументу.