Билет №60

Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда , но т.к. если взять точку M1 с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Билет №61

Билет №62

замкнутая центральная поверхность второго порядка (см. рис.). Канонич. уравнение Э. имеет вид

Положительные числа а, b, с и отрезки соответствующей длины наз. полуосями Э. Сечение Э. любой плоскостью представляет собой эллипс. Если две полуоси Э. равны между собой, то Э. наз. эллипсоидом вращения, сечения Э. вращения плоскостями, параллельными плоскости равных полуосей, являются окружностями. При a=b=с Э. представляет собой сферу. Центр симметрии Э. наз. его центром.

Поверхность второго порядка, канонич. уравнение к-рой имеет вид

Наз. мнимым эллипсоидом.

Билет №63

В математике гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

(однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

или

(двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

Билет №64

Билет №65

незамкнутая поверхность второго порядка. Канонич. уравнение Э. п. имеет вид

Э. п. расположен по одну сторону от плоскости Оху (см. рис.). Сечения Э. п. плоскостями, параллельными плоскости Оху, являются эллипсами с равным эксцентриситетом (если р=q - окружностями, Э. п. наз. параболоидом вращения). Сечения Э. п. плоскостями, проходящими через ось Oz, являются параболами. Сечения Э. п. плоскостями Oyz и Oxz наз. главными параболами Э. п. Ось симметрии Э. п. наз. его осью, а точка пересечения оси c Э. п.- вершиной.