- •Вопрос 3. (Комплексные числа. Действия на к.Ч. В алгебраической форме)
- •Вопрос 4. (Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа).
- •Вопрос 5. (Матрицы. Действия над матрицами (сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц)
- •Вопрос 6. (Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка).
- •Вопрос 7. (Определитель энного порядка. Определение, свойства определителей).
- •Вопрос 8. (Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки(столбца). Теорема Лапласа).
- •Вопрос 9. (Обратная матрица)
- •Вопрос 10. (Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гауса).
- •Вопрос 11. (Система линейных алгебраических уравнений слау. Основные понятия)
- •Вопрос 12. (Решение слау матричным методом).
- •Вопрос 13. (Решение матричных уравнений).
- •Вопрос 14. (Формулы Крамера для решения слау).
- •Вопрос 15. (Исследование слау. Теорема Кронекера – Капелли).
- •Вопрос 16. (Метод Жордана – Гауса для решения слау).
- •Вопрос 17. (Системы координат).
- •Вопрос 18. (Проекция вектора на числовую ось. Координаты вектора. Базис).
- •Вопрос 19. (Свойства геометрических векторов).
- •Вопрос 20. (Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции).
- •Вопрос 21. (Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства).
- •Вопрос 22. (скалярное произведение векторов. Свойства).
- •Вопрос 23. (Векторное произведение векторов).
- •Вопрос 24. (Смешанное произведение векторов. Свойства).
- •Вопрос 25. (Разложение вектора по базису в пдска).
- •Вопрос 26. (Общее уравнение прямой на плоскости).
- •Вопрос 27. (Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом).
- •Вопрос 28. (Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках).
- •Вопрос 29. (Нормальное уравнение прямой).
- •Вопрос 30. (Расстояние от точки до прямой).
- •Вопрос 31. (Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых).
- •Вопрос 32. (Плоскость. Общее уравнение плоскости).
- •Вопрос 33. (Нормальное уравнение плоскости).
- •Вопрос 34. (Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках).
- •Вопрос 35. (Уравнение плоскости, проходящей через три точки).
- •Вопрос 36. (Угол между 2 плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей).
- •Вопрос 37. (Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости в пространстве).
- •Вопрос 38. (Параметрическое задание прямой. Пересечение прямой и плоскости).
- •Вопрос 43. (Общее уравнение кривой второго порядка. Инварианты).
- •Вопрос 44. (Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты).
- •Вопрос 45. (Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования).
Вопрос 18. (Проекция вектора на числовую ось. Координаты вектора. Базис).
Под осьюбудем понимать направленную прямую.
О: Проекцией т. А на осьназывается основание перпендикуляра, опущенного из т. А на. Составляющей векторапо оси / называется вектор, где
(рис. 2.7). Проекцией векторананазывается число. Знак (+) берется, еслизнак (-) — еслиЕсли— единичный вектор (т.е.=1) в направлениито
Рис. 2.7
Свойства проекций:
1°. где
Если , тогда изАВК имеем(рис. 2.8).
Рис. 2.8
Рис. 2.9
Рис. 2.10
Если, тогда КА =(рис. 2.9).
2°. Проекция суммы векторов на осьравна сумме проекций векторов на
Доказательство геометрическое (рис. 2.10).
3°. Доказательство проводится с помощью свойства 1°.
Координаты вектора:
На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.
При сложении векторов складываются их соответственные координаты; при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Скалярное произведение векторов с координатами (x; y) и (x'; y') равно сумме произведений соответственных координат: xx' + yy'.
Чтобы вычислить координаты вектора , зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).
Все сказанное справедливо и для случая пространства с той разницей, что базис в пространстве состоит из трех векторов, а наборы координат векторов и точек – из трех чисел.
Базис:
Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.
В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:
Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,
В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.
Обозначения
Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:
или
— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости).
или
— трехмерного пространства. Для трехмерного пространства часто по традиции используется и обозначение
Представление какого-то конкретного (любого) вектора пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например
или
или, употребляя знак суммы :
называется разложением этого вектора по этому базису.
Числовые коэффициенты называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) векторав базисе(Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).