Квазилинейные УрЧП первого порядка. Две леммы о характеристиках.

A1

∂z

+…+ An

∂z

= B (1),

∂x

∂x

1

n

где A1,…, An , B − функции от x1,…xn , z класса C1(G), G Rn+1 , причем

A1

+…+

An

> 0

Геометрический смысл УрЧП (1).

Пусть a ={A1,…, An , B}

− векторное поле в G , z = f (x1,…, xn ) − решение УрЧП (1) клас-

са C1

(то есть z = f (x1,…, xn ) − по определению интегральная поверхность УРЧП (1)).

Тогда

=

∂z

,…,

∂z

,−1 − нормаль к интегральной поверхности и УрЧП (1) имеет

N

∂xn

∂x1

вид (a,

)= 0

N

z = f (x1,…, xn )

N

a

Таким образом, задача нахождения всех решений класса C1

УрЧП (1) сводится к нахож-

дению всех поверхностей класса C1

вида z = f (x1,…, xn ),

касающихся в каждой точке

векторного поля a .

def: Характеристической УрЧП (1) называется траектория системы ОДУ

dx

= A1(x1,…, xn , z),

1

dt

(2)

dxn

dt

= An (x1,…, xn , z),

dz

= B(x1,…, xn , z)

dt

dx1 =…= dxn = dz .

A

A

B

1

n

Первая лемма о характеристиках

Пусть z = f (x1,…, xn ) − решение класса C1

УрЧП (1), а x1 =ψ1(t),…, xn =ψn (t) − решения

dx

= A1(x1,…, xn , f (x1,…, xn )),

1

dt

dx

= An (x1,…, xn , f (x1,…, xn ))

n

dt

dzdt

= ∑

∂∂xf

ddtψi = ∑

∂∂xf Ai = B ,

n

n

i =1

i

i =1

i

так как z = f (x1,…, xn ) − решение УрЧП (1) ►

ψ (t)= f (ψ1 (t),…,ψn (t)),

B = ddtψ = ∑

∂∂xf ddtψi

=∑

∂∂xf Ai ,

n

n

i =1

i

i =1

i

n

∂f

так как через каждую точку поверхности проходит характеристика, B = ∑

Ai на этой

∂x

i =1

i

Рассмотрим УрЧП

∂z

∂z

A

+ A

= B (1),

1 ∂x

2 ∂x

1

2

где A , A , B − функции класса C1

от x , x , z в окрестности кривой

1

2

1

2

x1 =ω1(α)

Ω: x2 =ω2 (α), α [0,1],

z =ω3 (α)

1) Пусть A , A , B

− функции класса C1 от x , x , z определенные в окрестности

1

2

1

2

2) ω (α) C1

([0,1]),i =1,2,3

i

3) ω(α1 )=ω(α2 ) α1 =α2

x1 =ω1(α)

ω1′(α)

ω2′(α)

4)

≠ 0

α [0,1], где x2

=ω2 (α)

A1

(x1, x2 , z) A2

(x1, x2 , z)

z

=ω3 (α)

~

1

(]−ε,1 +ε[) (например линейным образом)

должение функции ωi (α) C

~

и B при α ]−ε,1

+ε[

Считаем, что Ω(α) лежит в области определения A1, A2

~

~

~

~

(α)),

2) Через каждую точку Ω(α) проведем характеристику УрЧП (1) ϕi (t,ω1

(α),ω2

(α),ω3

~

~

~

~

i =1,2,3, для некоторой точки t0 . По-

i =1,2,3, причем ϕi (t0 ,ω1

(α),ω2 (α),ω3 (α))=ωi (α),

ложим:

(t,α)

~

~

~

(α))

Φ

ϕ

Φ(t,α)=

(t,ω

(α),ω

(α),ω

1

=

1

1

2

3

Φ2

ϕ2

~

~

~

(t,α)

(t,ω1

(α),ω2

(α),ω3

(α))

3) По теореме о непрерывности и непрерывной дифференцируемости по начальным дан-

ным получим, что α ]−ε,1 +ε[

Vα = ]t0 −δα ,t0 +δα [×]α −δα ,α +δα [: Φ определено и

ось t

t0

Vα

2δα

−ε

ось α

0

α

1 1 +ε

принадлежит C1

на Vα

Φ C1(Vα ). Поскольку

D(Φ1, Φ2 )

A1

(x1, x2 , z) ω1′(α)

~

~

=

= −

ω1′(α)

ω2′(α)

≠ 0

по условию 4),

D(t,α)

t=t0

A2

(x1, x2 , z)

ω2′(α)

A1(x1, x2 , z)

A2 (x1, x2 , z)

~

~

~

(α) (можно считать, что ε > 0 настолько мало, что это

где x1 =ω1(α), x2

=ω2 (α), z =

ω3

выполняется α ]−ε,1 +ε[) в силу следствия 1 из теоремы о дифференцируемости по

начальным данным и параметру

∂Φ

1

∂ϕ

~

∂ϕ

~

∂ϕ

~

1

1

1

∂α

=

~

ω1′(α)+

~

ω2′(α)+

~

ω3′(α)

∂ω1

∂ω2

∂ω3

=1

=0

=0

то теореме об обратной функции (можно считать,

что

D(Φ1,Φ2 )

≠ 0 при (t,α) Vα

D(t,α)

( α ]−ε,1 +ε[), то есть можно выбрать δα0

> 0 достаточно малым).

~

на плоскости x10x2 и Φ:Vα → Φ(Vα ) − диф-

Φ(Vα ) − открытая окрестность точки ω(α)

феоморфизм класса C1 , так как Φ инъективно и Φ−1 : Φ(Vα )→Vα

также C1(Φ(Vα )).

4) Поскольку {t0 }×[0,1] − компакт в R2

и {t0 }×[0,1]

Vα , а Vα открыто в R2 α , то

α ]−ε,1+ε[

t0

ось t

{t0 }×[0,1] − отрезок на плоскости

Vαi

ось α

−ε 0

1 1 +ε

Положим Wδ = ]t0 −δ,t0 +δ[×]−δ,1 +δ[

2δ

{t0}×[0,1]

Wδ

(tn′k ,αn′k

)

(tn′′k ,αn′′k )

Vαi

0

α0

1

Допустим,

что

это

не

так.

Тогда

n

(tn′,αn′),

(tn′′,αn′′) W1

n

,

(tn′,αn′)≠ (tn′′,αn′′),

Φ(tn′,αn′)= Φ(tn′′,αn′′).

По теореме Больцано-Вейерштрассе

nk α′,α′′ [0,1]: αn′k

→α′,

tn′k

→ t0

и

αn′′k

→α′′,

tn′′k → t0 ,

Так

как

Φ

непрерывна,

то

ω(α′)= Φ(t0

,α′)= Φ(t0 ,α′′)=ω(α′′).

По условию 3

теоремы

α′ =α′′ =α0 (обозначение).

Поскольку

(t0

,α0 ) Vαi

при некотором i,1 ≤ i ≤ N ,

Vαi открыто в R2

и Φ:Vαi → Φ(Vαi )

взаимно-однозначно, то (tn′k

,αn′k

)= (tn′′k ,αn′′k

)

при достаточно больших k ,

а это противоре-

чит выбору (tn′,αn′)

и (tn′′,αn′′) Противоречие! Итак δ > 0 :

Φ : Wδ → Φ(Wδ ) − диффео-

морфизм класса C1 и Φ(Wδ ) − открытая окрестность ω .

Φ(Wδ )

Φ

Wδ

ε

0

1

1+ε

ω

6)

Построим решение УрЧП (1) следующим образом: пусть (x1, x2 ) Φ(Wδ ). Положим

(t,α)= Φ

−1

(x1, x2 )

и

~

def~

~

(см. 2)). Тогда

1

,

z = f (x1, x2 )=ϕ3 (t,ω1(α),ω2 (α),ω3 (α))

z = f (x1, x2 ) C

так как ϕ3 C

1

по

t

~

а

~

1

(]−

ε,1

+ε[)

по построению, i =1,2,3.

Итак,

и ωi (α),

ωi (α) C

(x , x )

Φ−1

(t,α)

ϕ3

(x

, x

).

f

1

2

1

2

По второй лемме о характеристиках z = f (x1, x2 ) − решение УрЧП (1), причем Ω с по-

верхности z = f (x1, x2 ).

7) Единственность. Путь z = f (x1, x2 ) − так же решение УрЧП (1) в Φ(Wδ ) и Ω с поверх-

ности z = f (x , x

2

).

Пусть

(x , x ) Φ(W ).

Положим (t,α)= Φ−1(x , x

)

и допустим, что

1

1

2

δ

1 2

α [0,1]. Проведем через Ω(α)

характеристику ϕ1,ϕ2 ,ϕ3 . По первой лемме о характери-

стиках

ϕ3

(t,ω1(α),ω2 (α),ω3 (α))= f1(Φ1(t,α),Φ2 (t,α))= f1(x1, x2 )