Рассмотрим два случая:

Iслучай: (случай нормализуемой системы).

ω≠ 0 , тогда система (1) примет вид:

Эта система каноническая и, следовательно, может быть сведена к нормальной (отсюда название “нормализуемая” система). ( y(n) = f (x, y, y′,…, y(n−1)) – замечание о гладкости решения из прошлого семестра). Так же как и в прошлом семестре в этой системе можно показать, что если f1,…, fn Cm ([a,b]), то y j Cq j +m ([a,b]), в частности, если f1,… fn C∞ ([a,b]), то y j C∞ ([a,b]).

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.

II случай: ω = 0 (случай не нормализуемой системы).

Заметим, что det L(p)= (p)=ωpN + +младшие степени p. Распишем:

столбцы линейно зависимы. Можно считать после перенумерования, что линейно зави-

20

подставим в систему (1): L(p)y = L(p)Φ(p)z = L (p)z = f (x)

Здесь det L (p)= = det L(p)det Φ(p)= det L(p)= (p).

=1

Определитель не изменился. Покажем, что порядок системы понизился, то есть N < N .

Запишем i-е уравнение новой системы:

li1(p)y1 +…+ lin (p)yn = (ai1 pq1 + ìë.ñò. p)z1 + (ai2 pq2 + ìë.ñò. p)(z2 + b2 pq1 −q2 z1 )+…+

+ (aik pqk + ìë.ñò. p)(zk + bk pq1 −qk z1 )+ li,k +1(p)zk +1 +…+ lin (p)zn = (ai1 + ai2b2 +…+ aikbk )pq1 z1 +

+ (младшие производны е от z1 )+ li2 (p)z2 +…+ lin (p)zn = fi (x),

итак, в новой системе

qn < qn

Если полученная система оказалась нормализуемая, то для этой новой системы гладкость решения обоснована, а тогда она обоснована для решения “старой” системы. Если же новая система также не нормализуема, то повторяем для нее предыдущие рассуждения. Получим систему, в которой (p)= (p)= (p), а N < N . За конечное число

шагов получим нормализуемую систему (если (p)≠ 0 ).

y = −x + const . Если f (t)≠ 0 , то система не имеет ни одного решения.

Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения

y′ = Ay (1) (рассмотрим только однородные системы)

21

y′ =Tz′ = Ay = ATz , z′ =T −1 ATz = Bz . Система распалась на несколько независимых систем (их стало столько, сколько жордановых клеток в матрице B). Будем исследовать одну клетку, например λ1 , причем пусть ее порядок s1 равен максимальному порядку всех клеток, отвечающих λ1 . Запишем систему для данной клетки:

v1 = C1

v2 = C1 x + C 2

v3 = C1 x22 + C 2 x + C 3

x s1 −1

vs1 = C1 (s1 − 1)! + … + C s1

22

Итак, если матрица T известна, то общее решение системы (1) равно сумме (для всех клеток) выражений типа (3). Обычно матрицу T трудно найти. Для получения общего

Эта система похожа на систему (2), то есть неизвестных s1 ×n и уравнений так же s1 ×n . В общем решении этой системы r1 свободных неизвестных, где r1 – кратность корня λ1 характеристического уравнения det(A − λE)= 0 . Если число s1 неизвестно, то в системе

(4) можно вместо s1 подставить r1 − m1 +1, где m1 – число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственному значению λ1 . Если же и m1 неизвестно, то в системе (4) вместо s1 можно взять r1 . При этом число свободных неизвестных не изменится и останется равным r1 . Для построения общего решения системы (1) нужно обозначить эти свободные неизвестные через C1,…,Cr1 , затем аналогично рассмотреть остальные корни λ2 ,…,λs кратностей r2 ,…, rs и сложить выражения типа (3) для всех корней.

23