Φ(Wδ )

(x , x

2

)= Φ(t,α)

1

Φ(t0 ,α)

ω

здесь единственности может не быть

(Если

(x , x

2

) Φ(W ), (t,α)= Φ−1

(x , x

2

) и

α [0,1], то

f

(x , x

) может

≠ f (x , x

2

)

так как

1

δ

1

1

1

2

1

~

+ε[, а это продолжение не единственно) ►

Φ зависит от продолжения Ω(α) на ]−ε,1

Число λ = 0

является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля

q ≡ 0, h1 = 0,

H1 = 0 . При этом u(x)≡ const ≠ 0 является собственной функцией операто-

ра Штурма-Лиувилля, отвечающей собственному значению λ = 0 .

Доказательство:

◄ ( ) Пусть λ = 0 − собственное значение и u − соответствующая собственная функ-

ция. Тогда

Lu = −(pu′)′ + qu = 0 u = 0

l

l

′

l

почастям

l

l

+ ∫qu

2

dx

2

dx + ∫qu

2

dx

0 = ∫Lu udx = ∫ −(pu′)u

dx

= −u(l)u′(l)p(l)+u(0)u′(0)p(0)+ ∫ p(u′)

0

0

0

≥0

>0

≥0

>0 0 >0

0

≥0

Так как u M (L), то

h1u(0)− h2u′(0)= 0, hi ≥ 0, h1 + h2 > 0

H1u(0)+ H2u′(0)= 0, Hi ≥ 0 H1 + H2 > 0

(Если

u(0) u′(0)< 0 ,

например

u(0)> 0 , то u′(0)< 0

h1u(0)+ h2 (−u′(0))> 0 ,

так как

h1 + h2

> 0 )

Аналогично

l

2

2

l

′

′

′

u

≡ 0

)

∫q dx = 0

−u(l)u (l)≥ 0

∫p(u

dx = 0 u = const ≠ 0 q ≡ 0 (const)

0

0 ≥0

h1const − h2 0 = 0

h1 = 0

H const + H

2

0 = 0

H

1

= 0

1

( ) Пусть q ≡ 0 , h1 = 0 ,

H1 = 0 . Положим u = const(=1) ≠ 0 , тогда

Пусть

λ = 0

не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля. Тогда

функцией Грина называется:

v1(x)v2

(y), 0 ≤ x ≤ y ≤ l,

1

G(x, y)= −

v

(x)v

(y), 0 ≤ y ≤ x ≤ l,

,

p(0)w(0)

2

1

где vi (x) удовлетворяет однородному уравнению Lv = 0 (1одн.) i =1,2 .

H1v1(0)− H2v1′(0)= 0, (то есть v1

удовлетворяет левому граничному условию),

H1v2 (l)+ H2v2′(l)= 0, (то есть v2

удовлетворяет правому граничному условию),

w(x)=

v1(x)

v2

(x)

– определитель Вронского.

v1′(x)

v2′

(x)

Свойства функции Грина.

1)

G(x, y) вещественна и непрерывна на [0,l]×[0,l],

G(x, y) C2

в замкнутых треугольниках

l

[0 ≤ x ≤ y ≤ l] и [0 ≤ y ≤ x ≤ l]

2)

G(x, y)= G(y, x) (симметричность)

0

l