Фундаментальная система решений (ФСР) для линейной однородной системы ОДУ. Существование ФСР и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.

def: Линейно независимая система решений y1,…, yn системы (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (2), а матрица

называется фундаментальной матрицей решений (ФМР) системы (2).

Теорема:

ФСР системы (2) существуют. Их бесконечно много. Все они могут быть получены из одной по формуле Z (x)=Y (x) S , где Y (x) – фиксированная ФМР, а S – матрица

чае y1,…, yn – ФСР, так как W (x)= detY (x0 )= det B ≠ 0 , поскольку матриц B с условием det B ≠ 0 бесконечно много, то и ФСР бесконечно много. Пусть теперь Y (x) – фиксиро-

15

Теорема:

Общее решение неоднородной линейной системы (1) y′ = A(x)y + f (x) имеет вид: y(x)= yчастное (x)+C1 y1(x)+…+Cn yn (x),

где yчастное (x) – частное решение системы (1), y1,…, yn – ФСР, соответствующая однородной системе (2), а C1,…,Cn – произвольные постоянные. Это следует из теории линейных пространств и предыдущей теоремы.

Резольвента линейной системы ОДУ и ее свойства.

def: Резольвентой системы (2) называют отображение R : [a,b]×[a,b]→ GL(n) – множество невырожденных матриц порядка n, удовлетворяющих следующим условиям:

1) x0 [a,b]: R(x, x0 ) – ФМР системы (2),

Свойства:

1° dR(x, x0 ) = A(x)R(x, x0 ) – следует из определения. dx

4° [R(x, x0 )]−1 = R(x0 , x). Это следует из 3°, так как R(x, x0 ) R(x0 , x)= R(x, x)= E (свойство 3°). Слева аналогично.

5° dR(x1, x)= −R(x1, x)A(x) dx

Доказательство:

16

Построение линейной, однородной системы по известной ФСР. Формула Лиувилля.

Теорема:

Пусть y1(x),…, yn (x) – произвольные n-мерные векторы-функции класса C1([a,b]), причем W (x)≠ 0 x [a,b], тогда ! система вида (2), для которой y1,…, yn являются

ФСР. Доказательство:

◄ Рассмотрим систему

Это система вида (2) (надо разложить по первому столбцу)

dyk = ∑n akj (x)y j ,

dx j =1

где akj (x) – известные непрерывные функции на [a,b]. Заметим, что y1,…, yn – решение

этой системы (так как при подстановке y j вместо y получаем два одинаковых столбца).►

17

Нахождение частного решения линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации постоянных. Формула Коши.

y′ = A(x)y + f (x) (1)

y′ = A(x)y (2) – собственная однородная система.

где y1,…, yn – ФСР собственной однородной системы (2), а C1(x),…Cn (x) – функции класса C1([a,b]). Подставим y из (3) в (1):

(Y C(x))′ =Y′C(x)+YC′(x) = A(x)(Y C(x))+ f (x) YC′(x)= f (x)

C′(x)=Y −1(x)f (x)

(Y −1(x) – существует, так как detY (x)=W (x)≠ 0 , x [a,b])

C(x)= ∫x Y −1(t)f (t)dt = [Y (x)= R(x, x0 )S, Y −1(t)= (R(t, x0 )S )−1 = S −1 R(x0 ,t)]=

x0

= ∫x R(x, x0 )S S −1R(x0 , x)f (t)dt = ∫x R(x,t)f (t)dt .

Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай нормализуемой системы.

18

(дифференциальный оператор, а не число). “Умножим” i-ое уравнение из (1) на Lis (p)

слева и просуммируем по i, от 1 до n. (Если умножать элементы столбца матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов того же столбца, то получим определитель матрицы, а если умножать на алгебраические дополнения другого столбца, то получим 0, на этом принципе построена обратная матрица.)

n

В итоге получим: (2) (p)ys = fs (x)= ∑Lis (p)fi (x), s =1,n . (В дальнейшем будет

i =1

обосновано, что такое “умножение” возможно при достаточно гладких fi (x)).

Система (2) распадается на n независимых ОДУ, отличающихся только правыми частями. Заметим, что каждое (достаточно гладкое) решение системы (1) (или (1одн.)) является решением системы (2) (или (2одн.)), но не наоборот. Из прошлого семестра заключа-

векторный многочлен, каждая компонента которого является многочленом степени ≤ rj −1. Для нахождения общего решения системы (1одн.) можно было бы подставить

y(x) из (3) в (1одн.), найти соотношение между коэффициентами многочленов p1(x),…, ps (x), выразить базисные неизвестные через свободные и обозначить эти свободные через C1,C2 ,…. Однако это слишком сложно. Для упрощения докажем лемму.

Лемма:

Пусть y(x) – решение системы (1одн.) (как показано выше, y(x) охватывается формулой (3)). Тогда каждое слагаемое в записи (3) также является решением системы (1одн.) (то есть можно привести предыдущие рассмотрения для каждой λj в отдельно-

сти, что значительно проще). Доказательство:

независимы при различных k и различных λj (“ФСР в случае кратных корней” – из про-

шлого семестра), то все коэффициенты всех многочленов в этом соотношении равны нулю. То есть

ние системы (1одн.). ►

Таким образом, общая схема решения системы (1одн.) изложена. Осталось ее обосно-

19