Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.

Рассмотрим систему:

y′ = f (x, y) (1).

Будем предполагать, что

1)

! решение y =ϕ

(x) системы (1) на участке [x0 ,+∞[, при условии y(x0 )= y0 ;

2)

~

R

n

,

~

<α , ! решение

~

α > 0 y0

y0 − y0

y(x)=ϕ(x) на участке [x0 ,+∞[, удовлетво-

~

~

ряющее начальному условию y

(x0 )= y0 .

def: Решение

y =ϕ(x)

системы (1)

называется устойчивым по Ляпунову, если ε > 0

~

n

,

~

− y0

<δ ,

x

[x0 ,+∞[:

~

< ε . Другими словами, устой-

δ > 0 , y0 R

y0

y(x)−ϕ(x)

~

n

,

~

− y0

<δ :

~

(x)−ϕ(x)

→ 0

при x → ∞ .

2) δ > 0 y0

R

y0

y

1

= x

2

тойчиво: x

2

2

1

.

= −a

x

x

Пример 2:

x + 2x + 2x = 0 – маятник с трением.

x

= x

λ

+ 2λ + 2 = 0

1

2

2

2

= −2x

2

−2x

λ = −1 ±i

x

1

Это затухающие колебания, нулевое решение асимптотически устойчиво.

Замечание:

Исследовать устойчивость (асимптотическую) решения

y =ϕ(x)

системы

y′ = f (x, y)

можно свести к исследованию устойчивости (асимптотической) нулевого

решения некоторой другой системы.

Положим: z = y −ϕ(x),

тогда z

′

= y

′

−

′

ϕ

(x)= f (x, y)− f (x,ϕ(x))= f (x,ϕ(x)+ z)− f (x,ϕ(x))≡ g(x, z). В дальнейшем

будем исследовать устойчивость (асимптотическую) только нулевого решения.

Лемма Ляпунова об устойчивости.

Пусть

функция

f :{(x, y)| x ≥ x ;

y

≤ γ

}→ Rn – непрерывна по

x

и

локально

0

y, f (x,0)= 0 (y Rn ,

≤ γ ).

удовлетворяет

условию Липшица по

y

Далее пусть

v : {y Rn

y

≤ γ}→ R удовлетворяет следующим условиям:

1) v C1 ({y Rn

y

≤ γ});

2) v(y)≥ 0; v(y)=

0 y = 0 ;

n

∂∂vy(y) fi (x, y)≤ 0

3) ∑

i =1

i

Тогда нулевое решение системы y′ = f (x, y) (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство:

y Rn ,

y

v(y)< vε = min v(y)

◄ Фиксируем ε > 0 , ε ≤ γ ,

тогда

δ > 0

<δ :

ε ≤

y

≤ γ

(как и в доказательстве предыдущей леммы).

Пусть

y0 Rn и

y0

<δ . Покажем, что

y(x)

→ 0 , при x → ∞ ,

где y(x) –

решение

системы (1) с начальным условием y(x0 )= y0 .

Как было показано в доказательстве предыдущей леммы функция ψ(x)= v(y(x)) не

возрастает,

заметим,

что

ψ(x)≥ 0 , так как

v(y)≥ 0 .

По теореме из

анализа

lim ψ(x)=α ≥ 0 . Покажем, что α = 0 . Допустим α > 0 тогда в силу непрерывно-

x→+∞

сти функции v(y) и условия v(0)= 0

β > 0

y Rn

y

< β : v(y)<α . В этом слу-

чае

x ≥ x0 :

y(x)

≥ β

(если

бы

y(x)

< β

для

некоторого

x ≥ x0 ,то

v(y(x))=ψ (x)<α

,

а

у

нас

ψ (x

)↓α

,

то

есть

ψ (x)≥α ).

αψdx(x)= ∑∂v(∂yy(x)) fi (x, y(x))≤ −Φβ (x) (условие 2) для семейства Φξ ).

n

i =1

i

dψ (t)dt ≤ − x

Так как β ≤

y(x)

≤ γx

x

Φβ (t)dt

Формула Ньютона-Лейбница.

∫

dt

∫

x0

x0

ψ(x)−ψ (x )

≤ − x

Φ

(t)dt

→

−∞ (условие 1))

ψ (x)→ −∞, при x → +∞, а у нас

0

∫

β

ïðè x→+∞

ψ (x)↓α

x0

ψ (x)= v(y(x))→ 0 ,

и

ψ(x)≥ 0

противоречие

α = 0 .

То

есть

при

x → +∞. Покажем, что

y(x)

→ 0 , при

x → +∞.

Допустим, что это не так, тогда

ξ > 0 ,

xk → +∞:

y(

xk )

≥ξ

в

этом случае

v(y(xk ))≥ vξ = min v(y)> 0

v(y(xk ))→/ 0

ξ ≤ y ≤γ

v(y(x))→/ 0 .

А

у

нас

доказано,

что

ψ(x)= v(y(x))→α = 0

при

x → +∞. Усиленный вариант доказан. ►

Перейдем к доказательству леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости (в каче-

стве следствия).

Достаточно положить Φξ (x)= min w(y)= const > 0 . Очевидно, что:

+∞

ξ ≤

y

≤γ

1) ∫

Φξ (x)dx = +∞;

x0

n

2) Если ∑∂v(y) fi

(x, y)≤ −w(y), то −w(y)≤ − min w(y)= −Φξ (x).

i =1 ∂yi

ξ≤ y ≤γ

n

∑∂∂vy(y) fi (x, y)≤ −Φξ (x) 0 <ξ ≤

y

≤ γ , а тогда можно применить усиленный вариант. ►

i =1

i

λ1

… … 0

… 0

1

λ1

0

…

1

B =

λs

… …

0

1

…

0

…

1

0

~

λs

~

= 0)такая, что

Тогда ε > 0 существует матрица T

(detT

λ1

… … 0

… 0

ε

… ε

λ1

~

~−1

~

0

B

=T

BT =

λs

… …

0

ε

…

0

… ε

0

λs

Докажем это для одной клетки.

Доказательство:

~~

◄ Известно, что замена переменной

переводит

систему z′ = Bz в систему

z =T z

~

~−1

~~

~~

~

для одной клетки:

z ′

=T

BT z

= Bz . Построим T