- •Канонические и нормальные системы ОДУ. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- •Лемма Арцелы (критерий компактности).
- •Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- •Теорема о единственности решения задачи Коши для систем ОДУ. Следствие для ОДУ n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- •Лемма о равномерной непрерывности.
- •Непрерывность решения системы ОДУ по начальным данным и параметру.
- •Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- •Фундаментальная система решений (ФСР) для линейной однородной системы ОДУ. Существование ФСР и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- •Резольвента линейной системы ОДУ и ее свойства.
- •Построение линейной, однородной системы по известной ФСР. Формула Лиувилля.
- •Нахождение частного решения линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации постоянных. Формула Коши.
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай нормализуемой системы.
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- •Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- •Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- •Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- •Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- •Лемма Адамара.
- •Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру.
- •Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- •Существование полной системы первых интегралов
- •Линейные однородные УрЧП первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы ОДУ. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- •Квазилинейные УрЧП первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- •Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧП первого порядка в случае пространственных переменных.
- •Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
Теорема: |
|
|||||||||||||||||
|
Рассмотрим систему y′ = Ay + f (x, y) (1). Пусть A – постоянная матрица с дейст- |
|||||||||||||||||
вительными коэффициентами, размера (n ×n). А f (x, y) – n-мерная действительная век- |
||||||||||||||||||
тор-функция, непрерывная по y в полуцилиндре: {(x, y) Rn+1 | x ≥ x0 , |
|
y |
|
≤ γ}, |
причем |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
f (x, y) |
|
≤ |
|
y |
|
α( |
|
y |
|
) – не зависит от x, где α(t)→ 0 при t → +0, α(0)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Далее, |
|
пусть Reλi ≤ −a < 0 , где λ1 – собственное значение матрицы A (i = |
|
) |
(некото- |
||||||||||||
|
|
1, n |
рые могут совпадать), a = const > 0 . Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство:
◄ Мы сведем эту теорему к проверке выполнимости условия леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
По лемме: существует матрица T (n ×n) с условием detT ≠ 0 : матрица B =T −1 AT будет иметь вид:
λ1 |
… … |
0 |
|
|
|
|
ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
… ε − |
λ |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
где λ1 – собственное значение матрицы A (i =1, n)(некоторые могут совпадать), а
0
εi = a, i =1, n −1
4
(a – из условия теоремы). Положим y =Tz , подставим в (1):
y′ =Tz′ = Ay + f (x, y)= ATz + f (x,Tz)
z′ =T −1 ATz +T −1 f (x,Tz)
z′ = Bz + f (x, z) (2).
Положим: v(y)= T −1 y 2 = z 2 , w(y)= a v(y). Выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости:
1) |
v(y) C1 – верно, |
||
2) |
v(y)≥ 0 , v(y)= 0 y = 0 , |
||
Осталось проверить условие: |
|||
|
n |
|
|
3) |
∑∂∂vy(y)(Ay + f (x, y))i ≤? − w(y). |
||
|
i =1 |
i |
ri (x, y ) |
Заметим, что
1)w(y) C ,
2)w(y)≥ 0 , w(y)= 0 y = 0 .
Проверку условия 3) проведем в 3 этапа. Сделаем некоторые оценки.
Пусть
t11 |
… t1n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
ti, j |
2 |
2 |
|
T = |
|
, M = |
∑ |
|
, |
||
tn1 |
… tnn |
|
j =1 |
|
|
|
|
тогда
28
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
2 |
n |
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
2 |
= ∑ |
∑ti, j z j |
|
|
|
|
≤ ∑ |
∑ |
ti, j |
|
|
|
∑ |
z j |
|
|
|
|
= M 2 |
|
z |
|
|
y |
≤ M |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
j =1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
j =1 |
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Аналогично |
|
z |
|
≤ M1 |
|
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x, z)2 |
|
= |
|
T −1 f (x,Tz) |
|
2 ≤ M12 |
|
f (x,Tz) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) (3) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x, z) |
|
≤ M1 |
|
|
f (x,Tz) |
|
2 |
|
≤ M1 |
|
Tz |
|
α( |
|
Tz |
|
|
|
)≤ M1 M |
|
z |
|
α( |
|
Tz |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем подробно систему (2):
+z1 z1′ = λ1z1 f1 (x, z)
+z2 z2′ = ε1z1 + λ2 z2 + f2 (x, z)
+zn z′n = εn−1zn−1 + λn zn + fn (x, z)+
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
|
|
комплексно |
|
|
|
|
|
|
сопряженну ю матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z′ = λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
z′ |
= ε z + λ z + f (x, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ε |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
f (x, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n−1 |
n−1 |
|
|
|
+ λ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пусть y = y(x) – решение системы (1), а z = z(x) – решение системы (2), тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv(y)= d (T |
|
|
|
|
2 |
|
= d |
|
z |
|
|
|
2 |
|
|
= d ∑zi zi = ∑(zi′ z + zi zi′) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
леваячастьпредыдущейсуммы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑n (λi zi zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zi zi )+ ∑n−1 (εi zi zi |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+1 +εi zi zi+1 )+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(сλi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сεi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑n (fi zi + fi zi )= J1 + J2 + J3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценим каждое J1, |
|
J2 , J3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
J1 = ∑(λi + λi |
) |
|
|
zi |
|
|
2 ( R) |
= ∑2(Reλi ) |
|
zi |
|
2 ≤ −2a∑ |
|
zi |
|
|
2 = −2a |
|
z |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i =1 |
2 Re λi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2ab≤a 2 |
+b |
2 )n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
εi ≤ |
a |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
J2 = ∑εi (zi zi +1 + zi zi +1 ) |
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
∑εi |
|
|
|
zi |
|
|
|
|
|
+ |
|
zi +1 |
|
|
|
+ |
|
|
zi |
|
|
|
+ |
|
zi +1 |
|
|
|
|
|
≤ |
a ∑( |
zi |
|
2 + |
|
|
zi +1 |
|
2 )≤ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
≤ |
|
a |
n−1 |
zi |
2 |
|
|
n−1 |
zi +1 |
|
2 |
≤ |
a |
|
n |
|
zi |
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
zi |
|
2 |
= |
|
a |
|
z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
∑ |
|
+ ∑ |
|
|
4 |
∑ |
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i =1 |
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенств о Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
J3 = ∑(zi fi |
+ zi fi )( R) |
≤ ∑2 |
zi |
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a,b) |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∑ |
zi |
|
|
|
|
|
|
f |
|
≤ |
|
2 |
z |
M1 M |
z |
α( |
Tz |
)= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i =1 |
|
2 Re(zi fi ) |
|
|
|
2 ≤ a |
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
a |
|
b |
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. оценку (3)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2M1M α |
( |
|
Tz |
|
) |
|
z |
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
= |
|
Tz |
|
, |
так как α(t)→ 0 |
|
|
при |
|
t → +0 |
(то есть h > 0 Rn , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при достаточно малых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
< h : 2M1M α( |
|
y |
|
)≤ |
|
a ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{(x, y)| x ≥ x0 , |
|
y |
|
<η}, |
поскольку |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Возьмем произвольную точку (x, y ) из полуцилиндра |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
через эту точку проходят интегральная линия |
y(x) |
|
|
(по теореме о ! решения задачи Ко- |
ши), то в этой точке будет
29
n |
~ |
|
|
|
dv(y(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v(y ) |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
z(x) |
|
2 |
|
a |
|
z(x) |
|
2 |
|
a |
|
z(x) |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑ |
∂y |
(Ay |
+ f (x, y ))i |
= |
|
= |
J1 + J2 + J3 ≤ − 2a |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
+ + |
2 |
|
|
|
= |
||||||
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i =1 |
i |
|
|
|
− a z(x) |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= −av(y )= −w(y ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y(x)= ~y ).
То есть выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Следовательно нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. ►
Лемма Адамара.
Лемма: |
|
|
|
(то есть x, y G : {(1 −t)x +ty | 0 ≤ t ≤1} G |
|||||||||||
|
|
Пусть G – выпуклая область в Rn |
|||||||||||||
отрезок, соединяющий x и y ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M – метрическое пространство, а функции |
f : G ×M → R |
(f (x, μ)) и |
∂f |
: G ×M → R , |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xj |
|
j = |
|
непрерывны на G × M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
− xi ), где ϕi : G ×G × M → R |
||||
Тогда x, y G , μ M |
f (y, μ)− f (x, μ)= ∑ϕi (x, y, μ)(yi |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
непрерывна на G ×G × M , |
i = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
◄ По формуле Ньютона-Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f (y, μ)− f (x, μ)= f ((1 −t)x +ty, μ) |
|
tt ==10 = ∫1 |
d |
f ((1 −t)x + ty, μ)dt = |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 dx |
|
|
|
||
1 1 |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
= ∫∑∂i f ((1−t)x +ty, μ) (yi − xi ) = ∑ |
|
∫∂i f ((1 −t)x + ty, μ)dt (yi − xi ). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 i=0 |
|
i =1 0 |
|
|
|
ϕi (x, y,μ) |
|
Непрерывность ϕi (x, y, μ) вытекает из непрерывность интеграла по параметру (по теоре- |
|||
ме из математического анализа). ► |
|
||
Замечание 1: limϕi (x, y, μ)= |
∂f |
(x, μ) (надо подставить x вместо y ) |
|
∂xi |
|
||
y→x |
|
|
|
|
|
|
Замечание 2: Если f (x, μ) имеет непрерывные смешанные производные по xi до порядка k включительно и эти производные непрерывны на G ×M , ϕm (x, y, μ) имеет непрерывную смешанную производную по xi и yi ( m =1,n ) до порядка k −1 включительно и
эти производные непрерывны на G ×G × M . Это следует из свойств интеграла (по теореме из математического анализа).
Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру.
Теорема:
Пусть G – область в Rn . [α, β] – отрезок, а отображение f : G ×]α, β[→ Rn не-
30
прерывно, |
(f (x, y, μ)), |
∂f |
|
и |
∂f |
|
так же непрерывны на |
f : G ×]α, β[, |
i = |
|
. |
Далее |
||||||||||||||||||||||
|
|
1, n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
∂μ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пусть y(x) – решение задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = f (x, y, μ) (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x )= y |
0 |
|
|
|
(2) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(τ) |
~ |
|
|
|
|
|
|
−1 |
(]−δ,δ[), при некотором |
δ > 0 . |
||||||||
определенное на [a,b]. Функции x0 |
, y0 (τ), |
μ(τ ) C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Причем x0 |
(0)= x0 , y0 (0)= y0 , μ(0)= μ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теперь γ > 0 τ ]−γ,γ[ Существует единственное решение задачи Коши: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
f (x, y, μ(τ )) (3) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
~ |
(τ ) |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 (τ )) |
= y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
определенное так же на |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
дифференцируема по τ |
при τ = 0 и |
|||||||||||||||||||
[a,b], причем y(x,τ ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂y |
τ =0 , удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
fy (x, y(x), |
μ) |
|
|
|
|
|
+ fμ |
(x, y(x), μ)μ (0) (5). |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
∂τ |
|
τ =0 |
|
матрица |
Якоби |
|
∂τ |
|
τ =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
~′ |
|
|
|
|
|
|
|
~′ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂τ |
|
|
|
|
|
= y0 (0)= f (x0 |
, y0 , μ)x0 (0) (6) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ =0 |
|
x=x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание: Формулы (5) и (6) получаются формальным дифференцированием по τ , подстановкой τ = 0 и дифференцированием по x тождества
~ |
~ |
(τ)+ |
|
x |
~ |
(t,τ), μ(τ))dt |
|
|
|||||
y |
(x,τ )≡ y0 |
~ ∫ f (t, y |
||||
|
|
|
x0 |
(τ ) |
|
|
Доказательство:
◄ По теореме о непрерывном решении по начальным данным и параметру существует единственное решение ~y(x,τ ) задачи (3), (4), определенное на [a,b], при достаточно ма-
лых |
|
τ |
|
|
(то есть при |
|
τ |
|
|
< γ ). Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
~ |
− yi |
|
|
|
1 |
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
[f |
|
|
|
|
|
|
|
(x, y(x), μ)]= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(x, y |
(x), μ |
(τ ))− f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
τ |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ ≠0 |
|
i |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(τ)− |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
μ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y j (x)− y j |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
по лемме |
= |
∑ |
ϕ |
(x, y(x), |
μ |
(τ), y(x), μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ϕ |
i0 |
(x, y |
(x), |
μ(τ ), y(x), μ) |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Адамара |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|||||||||||
äëÿ n+1переменных |
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)− y |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ψ |
|
|
(x,τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ψ |
i0 |
(x,τ ) |
μ(τ)− |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где ψij (x,τ) непрерывна при i = |
|
, j = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, n |
0, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(x,τ)− y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = (x,τ) |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда z(x,τ ) является решением задачи Коши |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =ψ(x,τ)z +ψ0 (x,τ) |
μ(τ)− μ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z(x,τ) |
|
~ |
|
|
|
= |
|
y(x0 (τ),τ) |
− y(x0 |
(τ)) |
= |
y0 (τ) |
− y |
+ |
y0 − y(x0 |
(τ)) |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y0 (τ)− y0 (0) |
|
|
|
|
x=x0 (τ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
τ |
~ |
|
|
|
|
|
~ |
τ |
|
|
|
|
~ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 (0))− y(x0 (τ)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
~ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
→ y0′(0)− y′(x0 )x0′(0) = y0′(0)− f (x0 , y0 μ)x0′(0) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по теореме |
|
о дифференци |
|
ровании |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сложной функции
31
функция ψ(x,τ)→ fy′(x, y(x), μ), ψ |
0 (x,τ)→ fμ′(x, y(x), μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
(τ)− μ |
τ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
~′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее |
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
τ |
→ μ (0). По теореме о непрерывности по начальным данным и параметру |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
τ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z(x,τ)→ z(x,0), где z(x,0) – решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
τ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~′ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(x,τ) |
− y(x) |
|
|
z |
′ |
= |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
fy (x, y(x), μ)z + f |
μ |
(x, y(x), μ)μ (0) |
|
lim z(x,τ)= z(x,0)= lim |
|
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
(x0 )= y0′ − f (x0 , y0 , μ)x0′(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂y(x,τ) |
|
и |
∂y |
|
|
|
– удовлетворяет условиям (5), (6). |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂τ |
|
τ =0 |
∂τ |
|
|
|
τ =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема доказана. ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Замечание: Все сказанное справедливо при τ |
близких к нулю, а не только при τ = 0 , то |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть |
∂y |
|
удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂y |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= fy′(x, y |
(x), μ |
(τ)) |
|
+ fμ′(x, y |
(x), μ |
(τ)) μ′(τ). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂τ |
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется уравнением в вариациях.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
Следствие 1: Пусть в предыдущей теореме |
|
|
|
|
|
|
|
|
(τ )= |
(i =1,n) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 (τ)=τ; |
|
|
(y0 )i |
(y0 )i = const |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ(τ )= μ = const , тогда |
|
|
удовлетворяет условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂y |
= |
fy′(x, y(x), μ) |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
= − f (x0 , y0 , μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следствие 2: Пусть |
|
|
|
|
|
x=x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(τ)= x0 |
= const; |
~ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
в |
предыдущей |
|
теореме |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 |
(y0 )i (τ)=τ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(y0 )j |
(τ )= (y0 )j = const |
(i ≠ j) |
и μ(τ )= μ |
|
= const , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет условиям |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂(y0 )i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂y |
|
|
= |
|
fy′(x, y(x), μ) |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂(y |
0 |
) |
|
∂(y |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
−i - я строка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂(y |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
x=x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− матрица Якоби и удовлетворяет условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂y |
= |
fy′(x, y(x), μ) |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂y0 |
|
∂y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
= E = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32