- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Введение
- •1. Понятие производной, её геометрический смысл
- •1.1. Понятие производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •2.1. Правила дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •3. Дифференциал функции
- •4. Дифференцирование обратной функции, функций заданных неявно, параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1. Дифференцирование обратной функции
- •4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •4.4. Логарифмическое дифференцирование
- •5. Производные высших порядков
- •5.1. Понятие производной высшего порядка
- •5.2. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •5.3. Производные высших порядков от функций, заданных неявно
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной для исследования свойств функций.
- •7.1. Возрастание и убывание функций
- •7.2. Экстремумы функции
- •7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •7.5. Асимптоты
- •8. Построение графиков функций с помощью элементов дифференциального исчисления
- •9. Расчетно-графическое задание Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Отпечатано методом прямого репродуцирования
- •6 80021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47
8. Построение графиков функций с помощью элементов дифференциального исчисления
При полном исследовании функции и построении ее графика
можно придерживаться следующей схемы:
указать область определения функции;
исследовать функцию на четность;
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные;
исследовать функцию на монотонность и экстремумы;
определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
произвести необходимые дополнительные исследования;
построить график функции.
Дадим пояснения к каждому пункту приведенной схемы.
1) Если каждому элементу по определенному правилупоставлен в соответствие единственный элемент, то говорят, что заданафункция , гденазывается независимой переменной или аргументом.
Множество называетсяобластью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точекдействительной оси, для которых выражениеимеет смысл и определяет действительные значения переменной.
2) Если для любого из симметричной области определениявыполняется равенство, то функция является четной, если же выполняется равенство, то функция является нечетной. В том случае, когдаи– функция не является ни четной, ни нечетной.
График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для, а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.
3) Точки пересечения графика функции с осьюопределяются из условия, т. е.. Точка пересечения с осьюопределяется из условия, значит,.
4) Прямая является вертикальной асимптотой графика функции ,если
, или .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции, если существуют конечные пределы
,
или
, .
В частности, при получаемили.
Полученная прямая является горизонтальной асимптотой графика функции.
5) Найти производную и критические точки, в которыхили не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе аргумента х через критическую точку :
а) меняет знак с “+” на “-”, тоесть точка максимума;
б) меняет знак с “-” на “+”, тоесть точка минимума;
в) не меняет знака, то в точкенет экстремума.
В промежутках где функция возрастает, гдефункция убывает.
Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:
1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;
2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах;
3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает).
6) Найти производную и критические точки, в которыхили не существует, а сама функция непрерывна. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Исследуемая точках будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё имеет разные знаки.
Если на некотором интервале , то функция вогнута (); если на некотором интервале, то функция выпукла ().
Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:
1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки.
2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах.
3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута).
7) Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.
По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.
Пример 8.1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
Решение.
1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда, , . Итак, область определения:.
2) Найдем :
.
Так как , то функцияявляется нечетной, и её график симметричен относительно начала координат.
3) Точка пересечения с осью определяется равенством, т. е.
, .
Точка пересечения с осью определяется равенством:
,
т. е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат.
4) Так как при ине выполняется условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции. Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как
,
и ,.
Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: и.
Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :
,
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой прии.
5) Найдем производную :
.
Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение: и выясним, в каких точках не существует. Уравнениеравносильно уравнениюили. Отсюда находим стационарные точки:,,. Производная не существует в том случае, когда знаменатель, т. е. при,. Таким образом, получили пять критических точек:,,,,.
Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.
Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11).
Например: ;;
;;;.
Так как при переходе через критические точки производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, придостигается минимум функции, а при– максимум. Кроме того, на интервалахифункция возрастает, а на интервалах,и– убывает.
Полученные данные занесем в таблицу:
Таблица 4
x | |||||||||||
+ |
0 |
- |
- |
0 |
- |
- |
0 |
+ | |||
↑ |
-2,6 |
↓ |
↓ |
0 |
↓ |
↓ |
2,6 |
↑ |
6) Найдем :
Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:
.
Это уравнение равносильно уравнению , откуда.
Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки:,,.
На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12):
,
,
, .
При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно,– точка перегиба графика функции. На интервалахиграфик функции является выпуклым, а на интервалахи– вогнутым. Составим таблицу исследования на выпуклость и вогнутость.
Таблица 5
х |
-1 |
0 |
1 | ||||
- |
+ |
0 |
- |
+ | |||
выпуклый |
вогнутый |
0 |
выпуклый |
вогнутый |
8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:
, ,.
Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: ,.
Теперь построим график функции (рис. 13).
Пример 8.2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
Решение.
1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций и, получаем область определения функции::.
2) Так как функция определена только для положительных значений , то она не является ни четной ни нечетной.
3) Найдем точки пересечения с осью :или, т. е., откуда. Точки пересечения с осьюне существует, так какникогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке –.
4) Данная функция непрерывна на всей области определения.
Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:
.
Отсюда прямая (ось) является вертикальной асимптотой к графику функции.
Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:
,
.
Полученная прямая (ось) является горизонтальной асимптотой графика функции
5) Найдем :
.
Производная равна нулю, когда , то есть при. Производная существует на всей области определения функции. Следовательно, существует только одна критическая точка.
Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной на всех интервалах (рис. 14):
, .
Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то – точка экстремума функции (точка максимума). На интервалефункция возрастает, а на– убывает.
6) Найдем :
.
Производная второго порядка равна нулю, если или,. Отсюда получаем:,. Так какне входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода.
Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки на всех полученных интервалах:
, .
При переходе через критическую точку производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервалеграфик является выпуклым, а на– вогнутым.
7) Найдем значения функции при и:
, .
Для более точного построения графика вычислим значения функции в дополнительной точке:.
По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции (рис. 16).