- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Введение
- •1. Понятие производной, её геометрический смысл
- •1.1. Понятие производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •2.1. Правила дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •3. Дифференциал функции
- •4. Дифференцирование обратной функции, функций заданных неявно, параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1. Дифференцирование обратной функции
- •4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •4.4. Логарифмическое дифференцирование
- •5. Производные высших порядков
- •5.1. Понятие производной высшего порядка
- •5.2. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •5.3. Производные высших порядков от функций, заданных неявно
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной для исследования свойств функций.
- •7.1. Возрастание и убывание функций
- •7.2. Экстремумы функции
- •7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •7.5. Асимптоты
- •8. Построение графиков функций с помощью элементов дифференциального исчисления
- •9. Расчетно-графическое задание Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Отпечатано методом прямого репродуцирования
- •6 80021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47
7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значения. Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.
Если на отрезке есть точки минимума и максимума функции , то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка . Аналогично для наибольшего значения.
Сформулируем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x), непрерывной на отрезке:
Найти критические точки x1, x2, ..., xn функции . Для этого необходимо решить уравнение .
Отобрать все критические точки, принадлежащие отрезку .
Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
Из этих значений выбрать самое большое и самое малое. Эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями на отрезке .
Пример 7.3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.
Найдем критические точки для данной функции:
;
при x1=0, x2 =–1, x3 =+1.
Все три критические точки принадлежат данному отрезку.
Вычислим значения функции в точках: :
4. Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.
Таким образом, наименьшее значение функции равно 4, в точке х = 1, наибольшее значение равно 13, в точке х = 2 и в точке х = -2.
Пример 7.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Решение.
, определена во всех точках;при.
На отрезке ,при.
Имеем три точки: ,,, в которых может достигаться наибольшее и наименьшее значения.
;
;
.
Итак, ,.
Пример 7.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Решение.
Найдем критические точки функции из условия, что или такие, при которыхне существует:
.
Производная во всех точках существует,, когда.
Раскладывая левую часть на множители, получаем:
.
Отсюда находим критические точки: ,,.
Из этих точек отрезку принадлежат только две:и.
Найдем значения функции в этих точках и на концах отрезка, т. е. при ,,,:
;
;
=;
.
Итак, получили ,.
Среди многих применений производной функции одной переменной важное значение имеет решение так называемых задач на максимум (минимум).
Пример 7.6. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, у которого сумма катета и гипотенузы равна .
Решение.
Обозначим один из катетов треугольника через , тогда гипотенуза будет равна, а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:
.
Площадь треугольника , так какдолжна быть максимальной, тоилине существует. Находим производную:
.
не существует, если , но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно., если. Тогда.
Проверяем является ли эта точка точкой максимума. При , а при. Таким образом приплощадь треугольника будет наибольшей.
Гипотенуза будет равна , т. е., где– угол, прилежащий к катету. Значит,; другой угол будет.
Следовательно, искомый треугольник – это прямоугольный треугольник с углами и сторонами,и.
Пример 7.7. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.
Решение.
Ширину данных досок обозначим через . Поперечное сечение желоба изображено на рис. 5,.
Обозначим через угол(), тогда,.
Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:
.
Наибольшее значение эта функция принимает в точке максимума, а необходимым условием того, что точка является точкой максимума функции, является то, чтоилине существует. Найдем:
.
Но всегда существует. Точки, в которых, находятся из уравнения:. Тогдаили. Если, то.
Но в этом случае никакого желоба не получится, так как . Остается случай, когда,, тогда, так как.
Проверим, является ли эта точка точкой максимума функции. При, производная функции принимает положительные значения, а при- отрицательные. То есть приплощадь поперечного сечения желоба будет наибольшей.
Таким образом, действительно точка максимума. А площадь поперечного сечения составит
.