- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Введение
- •1. Понятие производной, её геометрический смысл
- •1.1. Понятие производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •2.1. Правила дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •3. Дифференциал функции
- •4. Дифференцирование обратной функции, функций заданных неявно, параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1. Дифференцирование обратной функции
- •4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •4.4. Логарифмическое дифференцирование
- •5. Производные высших порядков
- •5.1. Понятие производной высшего порядка
- •5.2. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •5.3. Производные высших порядков от функций, заданных неявно
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной для исследования свойств функций.
- •7.1. Возрастание и убывание функций
- •7.2. Экстремумы функции
- •7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •7.5. Асимптоты
- •8. Построение графиков функций с помощью элементов дифференциального исчисления
- •9. Расчетно-графическое задание Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Отпечатано методом прямого репродуцирования
- •6 80021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47
4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
Не всегда функция бывает представлена в виде . Например, уравнениезадает функциюy, которую можно из этого уравнения выразить через :.
Пусть переменные связаны между собой некоторым уравнением
(4.2)
причем y является функцией от x. Тогда говорят, что функция y задана неявно уравнением (4.2).
Не всегда функции, заданные неявно могут быть выражены явно через элементарные функции. Так, из уравнения , которое неявно задает функциюy, нельзя выразить y явно через элементарные функции.
Для того чтобы найти производную y' для функции, заданной неявно уравнением (4.2) надо найти производные по x от обеих частей этого уравнения, помня, что y – функция от x и приравнять эти производные. Из полученного уравнения найти y'.
Пример 4.2. Найти производную функции, заданной неявно уравнением .
Решение.
.
.
Отсюда .
4.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):
(4.3)
Каждому значению t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а, следовательно, определенная точка Mплоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M описывает некоторую линию L. Уравнения (4.3) называются параметрическими уравнениями линии L.
Если функция на некотором интервале измененияt имеет обратную функцию , то подставляя это выражение в уравнение, получим, которое задаетy как функцию от x.
Пусть ,имеют производные, причем. По правилу дифференцирования сложной функции. На основании правила дифференцирования обратной функции, имеем:
(4.4)
Полученная формула (4.4) позволяет находить производные для функций, заданных параметрически.
Пример 4.3. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически:
.
Найти .
Решение.
Пример 4.4. Найти , если переменныеисвязаны соотношением
.
Решение.
Явно выразить одну из переменных через другую невозможно, поэтому находим производные левой и правой частей данного равенства и приравниваем их:
.
Далее имеем:
;
.
Перенося слагаемые, содержащие , в одну часть равенства, выносяза скобку, а остальные слагаемые – в другую и деля на коэффициент при, получаем:
.
Пример 4.5. Найти идля функции, заданной параметрически:
.
Решение
;;
; ;
;
.
4.4. Логарифмическое дифференцирование
Рассмотрим показательно-степенную функцию , где,u(x), v(x) – дифференцируемые функции.
Прологарифмируем равенство , получим: (по свойствам логарифмов). Дифференцируем обе части полученного равенства как неявную функцию, помня, что y – функция от x:
,
откуда .
Подставляя сюда , имеем:
.
Этот прием нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.
Пример 4.6. Найти .
Решение.
Вначале прологарифмируем данное равенство
,
и найдем производные от обеих частей полученного равенства, приравнивая их:
Учитывая, что , имеем:
.
Пример 4.7. , (x > 0). Найти производную функции y'.
Решение.
,
или.
5. Производные высших порядков
5.1. Понятие производной высшего порядка
Пусть функцияопределена и дифференцируема на некотором промежуткеX, тогда ее производная также является функцией отx на этом промежутке. Если имеет производную на промежуткеX, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или .
Итак,
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или .
Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной -го порядка и обозначается:y(n) или f (n)(x). Итак,
f (n)(x) = (f (n-1)(x))'.
Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.
Пример 5.1. . Найти и.
Решение.
= =,
= –,
= =,
= ==.
Пример 5.2. Найти производную n-го порядка для функции .
Решение.
,
,
.
По аналогии находим: .