- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Введение
- •1. Понятие производной, её геометрический смысл
- •1.1. Понятие производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
- •2.1. Правила дифференцирования
- •2.2. Производная сложной функции
- •3. Дифференциал функции
- •4. Дифференцирование обратной функции, функций заданных неявно, параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1. Дифференцирование обратной функции
- •4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •4.4. Логарифмическое дифференцирование
- •5. Производные высших порядков
- •5.1. Понятие производной высшего порядка
- •5.2. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •5.3. Производные высших порядков от функций, заданных неявно
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной для исследования свойств функций.
- •7.1. Возрастание и убывание функций
- •7.2. Экстремумы функции
- •7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •7.5. Асимптоты
- •8. Построение графиков функций с помощью элементов дифференциального исчисления
- •9. Расчетно-графическое задание Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Отпечатано методом прямого репродуцирования
- •6 80021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47
7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
Пусть – функция, дифференцируемая на интервале . Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .
Кривая, заданная функцией , называется выпуклой на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.
Кривая называется вогнутой на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Точка кривой M0(x0, f(x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Теорема 4 (достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла; если во всех точках интервала –, то кривая на этом интервале вогнута.
Пример 7.8. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривой
Решение.
Ищем точки х из области определения функции, в которых или не существует.
Вторая производная равна нулю в точках . Эти точки являются искомыми, так как область определения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точекх, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как существует всюду.
Исследуем найденные точки, определяя знак слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума (табл. 3).
Таблица 3
x |
0 |
(0, 1) |
1 | ||
0 |
0 | ||||
выпукла |
нет перегиба |
выпукла |
точка перегиба |
вогнута |
Выполним построение (рис. 6).
Рис. 6
7.5. Асимптоты
При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.
Если , то прямаяявляется асимптотой графика (при ). Эта асимптота параллельна осиOx и называется горизонтальной асимптотой (рис. 7). Аналогично, прямая является асимптотой графика y = f(x) (при ), если.
Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.
Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов ,, является бесконечным (рис. 8).
Рис.
8
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.
Пример 7.9. Найти вертикальные асимптоты для функции .
Решение.
Функция определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точкиx0 = 2, в которой функция терпит разрыв,
= –,= +. Следовательно, прямая х=2 является вертикальной асимптотой для графика y =. Кроме того,= 0 и = 0, следовательно, прямаяy = 0 является горизонтальной асимптотой при и при.
Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны координатным осям (рис. 9). Будем называть их наклонными асимптотами.
Прямая называется наклонной асимптотой функции , если функцию можно представить в виде
, (7.1)
где , при.
Определим числа k и b.
Поделим обе части равенства (7.1) на и перейдем к пределу при:
Откуда:
(7.2)
Определим коэффициент .
Равенство (7.1) перепишем в виде:
Перейдем к пределу , получим.
.
(7.3)
Если хотя бы один из пределов (7.2), (7.3) не существует, то при кривая не имеет наклонной асимптоты.
Аналогично решается вопрос об асимптотах при .
Замечание. Отдельно находить горизонтальные асимптоты нет необходимости: они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k=0).
Пример 7.10. Найти асимптоты линии .
Решение.
Функция определена, непрерывна на бесконечном интервалепоэтому вертикальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы (7.1), (7.3) при и при:
= =,
так как (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что принаклонных асимптот нет.
= , так как,
отсюда . Далее,значит,b = 0.
Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при для графика функции(рис. 10).