Учебное пособие с заданиями

Коэффициент mдоп, вычисляемый по приведенным формулам, вводится в формулу расчетной гибкости составного стержня:

A

Если в равенство (14.39) подставить значение (14.38) и учесть, что в данном случае

=µyl

λ ,

J y

A

то получится так называемая формула Энгессера

которая очень удобна для приближенных расчетов составных стержней на устойчивость.

14.10. Пример расчета на устойчивость составных стержней

Необходимо подобрать размеры поперечного сечения и установить необходимое число панелей для стального составного стержня с шарнирно закрепленными концами, несущего нагрузку F = 1000 кН при длине l = 6 м и допускаемом напряжении [s] = 160 МПа. Сечение ветвей – двутавры (см. рис. 14.8), соединительные элементы – поперечные планки.

Решение

Так как запас на устойчивость не задан, а дано только допускаемое напряжение, задачу решаем с помощью коэффициента снижения допустимого напряжения j. Принимая в первом приближении j1 = 0,5, определяем

311

По сортаменту выбираем двутавр № 36, для которого А1 =

= 61,9 см2, J x1 = 13380 см4, ix1 = 14,7 см.

Гибкость относительно оси х для составного стержня

A

где по условию задачи mx = my = 1.

Тогда λ¢x = 600 = 40,8. 14, 2

По табл. 14.1 определяем j1, принимая линейное интерполирование:

j1 = 0,92 - 0,920 - 0,890 ×0,8 = 0,918. 10

Допускаемое напряжение

j1¢ [σ] =147 МПа,

и берем по сортаменту двутавр № 27а, для которого

312

A1 = 43,2 см2, ix1 = 11,3 см,

гибкость

допускаемое напряжение

j′ [s] = 141 МПа,

2

действительное напряжение

Принимаем по сортаменту двутавр № 24а, для которого

A1 = 37,5 см2, ix1 = 10,1 см.

Гибкость

λ¢¢¢ = 600 = 59, 4,

x

10,1

далее

j′ = 0,862,

3

допускаемое напряжение

j′ [s] = 137,9 МПа,

1

действительное напряжение

313

Погрешность составляет

137,9 -133,3 100 % = 3,4.

133,3

Останавливаемся на этом профиле и выписываем для него необходимые данные:

Определение необходимого числа панелей

Принимаем расчетную гибкость составного стержня относительно оси у, равной гибкости относительно оси х (условие равноустойчивости), а гибкость отдельной ветви l1 – равной гибкости lу. Тогда, в соответствии с формулой (14.41), опреде-

лим (lу)расч:

(λy )расч = λ2н + λ12 =1, 41λ1 = 59, 4,

отсюда

A

длина же между панелями l1 = λ1 ×iy1 = 42,12 × 2, 63 =110,8 см.

Число панелей n должно быть целым. Поэтому принимаем n = 6, уточняем длину между панелями:

314

l1 = l = 600 = 100 см. n 6

Действительная гибкость отдельной ветви относительно оси у1:

Следовательно, необходимую номинальную гибкость составного стержня относительно оси у найдем из уравнения

откуда

λy ≤ (λy )2расч − λ2y = 59, 42 − 382 = 45, 65.

Принимаем с некоторым запасом λу = 44 и находим необходимое расстояние между двутаврами а (см. рис. 14.8):

A

откуда

J y = µ2l2 .

A λ2y

Учитывая зависимость (14.35),

получим

315

Величину a определим из уравнения

Подставляя известные величины, вычисляем a:

2

a ³ 2 600 - 2, 632 = 27, 76 cм.

442

Принимаем а = 27 см.

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2.Что называется критической силой и критическим напряжением?

3.Что называется гибкостью стержня?

4.Как влияет жесткость EJ поперечного сечения и длина стержня на величину критической силы?

5.Какой момент инерции обычно входит в формулу Эйлера? Возможны ли здесь исключения?

6.Как влияют условия закрепления на эйлеровскую критическую силу?

7.Что называется предельной гибкостью?

8.Какой вид имеет формула Ясинского для определения критических напряжений, и при каких гибкостях она применяется для стержней из стали Ст. 3?

9.Что представляет собой коэффициент j, как определяется его значение?

316

10.Как проводится проверка стержней на устойчивость с его помощью?

11.Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость?

Контрольная работа № 14.

Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня

Подобрать сечение центрально сжатого стержня из условий устойчивости и прочности.

Схема закрепления стержня и форма поперечного сечения приведены на рис. 14.9, длина и нагрузка – в табл. 14.2.

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить заданную схему стержня и его сечение с указанием главных центральных осей.

2.Подобрать сечение из условия устойчивости методом последовательных приближений с помощью коэффициента продольного изгиба.

3.Проверить прочность подобранного сечения, если ослабление сечения заклепками составляет 12 %.

317

4. Рассчитать длину панели ln (для схем 1–3, 7–10) из условия равноустойчивости ветви и всей стойки в целом. Схему обрешетки стержня принять по рис. 13.8, б.

5.Рассчитать расстояние между стержнями а из условия равноустойчивости во всех плоскостях.

6.Определить фактический коэффициент запаса устойчивости подобранного стержня.

318

ГЛАВА XV. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

15.1. Основные понятия

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка,

имеющая форму тела вращения, толщина стенки которой весьма мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности.

К таким оболочкам могут быть отнесены цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов ракет и реактивных двигателей.

Радиусы кривизны оболочки указываются до срединной поверхности. Срединная поверхность – это геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки.

Задача о расчете оболочек вращения проще всего решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине, и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами, то к ее расчету может применяться безмоментная теория.

15.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории

Если из оболочки выделить элемент двумя парами бесконечно близких меридиональных и нормальных конических сечений, то в нем можно указать действующие по граням напряжения σm и σt. Первое напряжение называют меридиональным. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σt называют окружным напряжением.

Связь этих напряжений, а также внутреннего давления (давление жидкости или газа) с геометрическими параметрами оболочки определяется соотношением, называемым уравнением Лапласа.

319

пряжение в окружном направлении; р – давление жидкости или газа; rm – радиус кривизны оболочки в меридиональном направлении; rt – радиус кривизны оболочки в окружном направлении; d – толщина оболочки.

Так как в уравнении Лапласа две неизвестные величины – sm и st, то в общем случае необходимо получить еще одно уравнение. Второе уравнение, содержащее лишь меридиональное напряжение sm, получим, рассматривая равновесие конечной части резервуара. В данном случае проектируем все силы на ось симметрии:

слоями оболочки – предполагается малым, и ввиду этого напряженное состояние оболочки считается двухосным. Наибольшее радиальное напряжение по абсолютной величине равно нормальному давлению р, в то время как sm и st в соответствии

с уравнением Лапласа имеют величину порядка pρm или pρt .

δ δ

Для решения практических задач по безмоментной теории запишем следствия, вытекающие из двух теорем, которые приводятся без доказательства.

Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления р и площади проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси.

320