Учебное пособие с заданиями

261

Условие прочности выполнено.

Сечение В. Место посадки подшипника (галтель):

Kσ = 1,66 (табл. 6 приложения), Kdσ = 0,76 (табл. 9 приложения),

KFσ = 0,91 (табл. 12 приложения), Kv = 1.

Тогда

262

Условие прочности выполнено.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется усталостью и выносливостью материала?

2.Перечислите основные параметры циклов.

3.Что представляет собой кривая усталости?

4.Что называется пределом выносливости материала?

5.Какие факторы влияют на величину предела выносливости?

6.Что представляет собой диаграмма предельных амплитуд?

7.Как определяется запас усталостной прочности при простых видах деформации; при сложном напряженном состоянии?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источник [1] (гл. 12, § 12.1–12.6).

Контрольная работа № 13.

Расчет вала на сопротивление многоцикловой усталости

Провести проверочный расчет вала на сопротивление многоцикловой усталости.

Данная работа является продолжением работы № 12. Диаметр вала d, значение крутящего момента Мк и суммарного изгибающего момента Ми взять из работы № 12.

Если в опасном сечении вала оказывается опора, то в качестве опасного участка берется галтель. Если в опасном сечении вала установлены шестерня, звездочка или шкив, то в качестве опасного участка выбирается галтель со шпоночным пазом. При этом зубчатые колеса посажены на вал с натягом, поэтому для

таких соединений значения Kσ и Kτ определяются по табл. 10

Kdσ Kdτ

приложения.

Нормальные напряжения от изгиба изменяются по симметричному циклу, касательные напряжения – по отнулевому.

263

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычислить значения максимальных нормальных и касательных напряжений в опасном сечении вала.

2.Определить расчетные характеристики сопротивления усталости элементов вала с учетом влияния основных факторов.

3.Рассчитать коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

4.Вычислить общий коэффициент запаса циклической прочности и сравнить с нормированным значением коэффициента запаса [n] = 1,3.

5.При необходимости рекомендуется сменить марку стали или ввести упрочняющую обработку поверхности.

ГЛАВА XIII. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Несмотря на бурное развитие науки и техники, в середине XX века мир стал свидетелем ряда крупных катастроф. Из 2500 кораблей типа «Либерти» 145 разломились пополам, а около 700 претерпели серьезные разрушения. Взрывались ракеты, наблюдались многочисленные разрушения газопроводов и т.д. Общим для всех этих происшествий было катастрофическое развитие трещин. Такие случаи стали встречаться все чаще по мере увеличения габаритов конструкций и увеличения прочности материалов.

В 1957 году в США сформировалось новое направление механики, которое получило название «Механика разрушения».

Из физики твердого тела известно, что теоретическая прочность материалов на порядок и более превышает их фактическую прочность. Немаловажную роль в этом феномене играют различного рода дефекты, присущие материалу, начиная от дефектов кристаллической решетки (дислокации, вакансии, внедренные атомы различных элементов и т. д.) и кончая макроскопическими дефектами, в том числе и трещинами различного происхождения.

264

В узком смысле слова «Механика разрушения» изучает условия разрушения твердых тел при наличии в них макроскопических трещин.

13.1 Проблема оценки прочности тел с трещинами

Если рассматривать трещину в рамках линейной теории упругости как математический разрез, то она представляет собой концентратор напряжений с теоретическим коэффициентом концентрации, равным бесконечности. В этом случае классический подход к оценке прочности по допускаемым напряжениям теряет смысл, так как при любой самой малой нагрузке всегда найдутся точки в материале, эквивалентные напряжения в которых будут превышать любое критическое значение. Таким образом, с точки зрения этой теории, тело с трещиной должно иметь нулевую прочность, что явно противоречит опыту.

Тот же опыт показывает, что существуют материалы, называемые хрупкими, которые разрушаются без заметных пластических деформаций, при этом, если в материале имеется трещина, последняя с ростом нагрузки до поры до времени не увеличивается в размерах, а после достижения нагрузкой некоторого критического значения почти мгновенно распространяется, приводя тело к разрушению.

13.1.1Теория Гриффитса

В1920 году появилась основополагающая работа английского ученого А.А. Гриффитса, который провел серию научных экспериментов на стекле и дал теоретическое обоснование влияния размеров трещин на величину разрушающих напряжений.

Для теоретического анализа Гриффитс воспользовался решением задачи о бесконечной пластине с эллиптическим отверстием, нагруженной на бесконечности напряжениями σ. Трещина моделируется эллипсом, малая полуось которого равна нулю,

абольшая - половине длины трещины l (рис.13.1). Перемещения берегов трещины для этого случая описываются формулой:

265

v = 2σ (1 − µ2 ) l 2 − x2

E . (13.1)

Гриффитс рассмотрел изменение потенциальной энергии системы при переходе от цельной пластины к пластине с трещиной.

После нагружения цельной пластины закрепим ее на бесконечности

yσ и введем математический разрез длиной 2l, моделируя реальную трещину. Берега трещины получат перемещения v, описываемые при-

σстины, которую надо затратить на

эту процедуру. Если за обобщенную силу принять интенсивность сил, приложенных к берегам трещины, равную напряжению σ, то за обобщенное перемещение следует принять площадь эллипса с полуосями l и vmax. Эта площадь будет равна

ω = πlvmax = 2(1 − µ2 )πl 2σ

E ,

а затраченная на закрытие трещины работа может быть найдена как

266

Потенциальная энергия системы при возникновении тре-

щины уменьшится на величину .

Далее Гриффитс рассуждал так. Пусть для образования единицы свободной поверхности необходимо затратить работу γ, равную плотности поверхностной энергии. С другой стороны при переходе от трещины с полудлиной l к трещине с полудлиной l+dl высвобождается потенциальная энергия

d U = (1 − µ2 )π2lσ2 dl E .

Разрушение возможно без дополнительного подвода энергии, если высвобождающейся энергии достаточно для образования дополнительной свободной поверхности. Так как высвобождающаяся потенциальная энергия зависит от напряжения σ, можно определить критическое напряжение σс, при котором возможно начало нестабильного разрушения, из уравнения

d U = 4 γdl

Отсюда вытекает уравнение, связывающее критическое напряжение и длину трещины в виде:

σ c πl = = const

.

Гриффитс провел обширные эксперименты на стекле по проверке своей теории. Обнаруженные отклонения не превыша-

ли 5%.

Подобные решения для большинства практически важных случаев нагружения долгое время встречали непреодолимые математические трудности, кроме того, считалось, что предложенная теория годится только для хрупких материалов.

В 50-х годах теория Гриффитса была распространена и на пластичные материалы при условии, что размер пластической зоны в области вершины трещины мал по сравнению с размерами трещины и, тем более, размерами самого тела. Было введено понятие интенсивности освобожденной энергии G, т.е. величины освободившейся энергии, приходящейся на единицу дополнительно образовавшейся площади трещины.

267

G = − dU dA .

Так для пластины, растягиваемой на бесконечности напряжениями σ при плоском напряженном состоянии

Если предположить, что для образования единицы площади трещины надо затратить некоторую работу G с , включающую

как работу на создание свободной поверхности, так и работу на пластическое деформирование приповерхностной области, то условие начала нестабильного разрушения примет вид:

G= G c

13.1.2Метод податливости

Рассмотрим один из возможных путей экспериментального определения интенсивности освобожденной энергии G. Пусть имеется тело с трещиной, загруженное некоторой обобщенной силой F. Под действием этой силы тело получит соответствую-

268

r и θ, компоненты напряженного состояния выра-

Рис.13. 4

жаются через коэффициент интенсивности напряжений

Аналогично выражаются компоненты напряженного состояния и при других видах деформаций.

Из приведенных формул видно, что размерность коэффициентов интенсивности напряжений в Международной системе единиц Па×м1/2 .

270