Учебное пособие с заданиями

Соответственно этим условиям запишем три уравнения:

Все эти уравнения удовлетворяются при С1 = С2 = R = 0; в этом случае прогиб отсутствует и имеет место тривиальная форма равновесия. Для возможности возникновения выпученной формы равновесия необходимо существование решения системы уравнения (14.12), отличного от тривиального (нулевого) решения. Уравнения (14.12) являются однородными и содержат неизвестные С1, С2 и R. Подобная система уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Таким образом, получаем так называемое «уравнение выпучивания»:

или, раскрывая определитель, получим трансцендентное уравнение

αl = tg αl ,

которое определяет критическую нагрузку.

Наименьший корень, удовлетворяющий уравнению, равен

αl = 4, 493 .

Следовательно,

Тогда

291

Приведенные формулы Fкр для различных случаев можно объединить в одну:

где lпр – приведенная длина стержня, определяемая по формуле lпр = µ×l , а m – коэффициент приведения, с помощью которого

стержень любого типа сводят к стержню, шарнирно опертому на концах, для которого при наименьшем значения Fкр потеря устойчивости сопровождается изгибом с одной полуволной.

Понятие приведенной длины впервые было введено Ф.Е. Ясинским.

На рис. 14.6 приведены коэффициенты и для четырех рассмотренных случаев.

14.4. Предел применимости формулы Эйлера. Продольный изгиб за пределами пропорциональности

Определяем критические напряжения при продольном изгибе.

292

Дальнейший анализ проведем для шарнирно опертых стержней, как наиболее широко встречающихся; все же остальные случаи при расчетах будем сводить к этому случаю изменением длины стержня за счет введения приведенной длины вместо действительной.

Так как при действии критической нагрузки стержень все еще сохраняет первоначальную прямолинейную форму упругого равновесия, то критическое напряжение в нем определяется, как при простом сжатии, т.е.

Учитывая, что осевой момент инерции J = F ×i2 и подставляя это выражение в формулу для критического напряжения, получим

Отношение l называют гибкостью стержня. Она равна

imin

отношению длины стержня к минимальному радиусу инерции. Обозначим гибкость через λ.

Тогда

Для стержней с другими условиями закрепления:

293

Из формулы (14.16) следует, что критическое напряжение прямо пропорционально модулю упругости материала стержня и обратно пропорционально квадрату его гибкости.

Кроме того, формула (14.16) свидетельствует о том, что большое влияние на величину критических напряжений оказывает длина стержня, т.к. она входит в эту формулу в квадрате.

Если увеличивать длину стойки, сохраняя неизменным геометрические размеры его поперечного сечения, то опасность продольного изгиба быстро возрастает. Так, при увеличении длины в три раза критическое напряжение уменьшается в девять раз, т.е. стержень теряет устойчивость при очень низком значении напряжений.

Как указывалось выше, формула Эйлера применима лишь

втом случае, если критическое напряжение не превосходит предел пропорциональности материала. Это следует из того, что

воснову вывода формулы положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Учитывая, что границей применимости формулы Эйлера

является тот случай, когда σкр £ σпц , можно записать:

π2 E £

λ2 σпц ,

где sпц – предел пропорциональности материала. Решая это уравнение относительно λ, получим:

σпц

Правая часть формулы (14.18) представляет собой наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима – это так называемая предельная гибкость λпред:

294

λпред = π E .

σпц

Предельная гибкость зависит только от физикомеханических свойств материала стержня, его модуля упругости и предела пропорциональности.

Условие применимости формулы Эйлера с учетом выражения (14.18) можно записать в следующем виде:

Следовательно, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что гибкость больше предельной.

Для стали Ст3 Е = 2·105 МПа, σпц » 200 МПа, тогда

Для сталей с повышенным значением σпц предельная гиб-

кость уменьшается. Для некоторых марок легированных сталей λпред » 60–70, для сосны, ели λпред » 70 , для чугуна λпред » 80 ,

для дюралюминия λпред » 60–80.

При гибкости стержня, меньшей предельной, критическое напряжение, если его определять по формуле Эйлера, получается выше предела пропорциональности σпц. При гибкости λ = 60

по формуле

т.е. величина σкр значительно больше не только предела про-

порциональности, но также предела текучести и временного сопротивления разрыва (предела прочности).

295

Такое различие связано с тем, что для определения критического напряжения по формуле (14.16) предполагается постоянным угловой коэффициент схематизированной диаграммы испытания материала. Для действительной же диаграммы угло-

вой коэффициент dσ зависит от напряжения и может рассматdε

риваться как текущий, переменный модуль упругости. Этот мгновенный модуль должен учитываться в выражении для эйлеровой критической силы. Из этого следует, что реальная критическая сила будет отличаться от той, которую дает схематизированная линейная диаграмма соответственно в том отношении, в каком мгновенный модуль Е* отличается от модуля Е. Мгновенный модуль Е* всегда меньше Е.

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критическое напряжение определяется по эмпирическим формулам. Наиболее широкое распространение получили эмпирические формулы Тетмайера– Ясинского, в основу которых положен линейный закон изменения критических напряжений в следующем виде:

Коэффициенты а и b определяются на основании экспериментальных данных. Для стали Ст. 3 при гибкости λ < 100

σкр = 310 −1,14λ МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

где с = 0,53.

При некотором значении гибкости (λ0) величина σкр, вы-

численная по формулам (14.20) и (14.21), становится равной предельному напряжению при сжатии, т.е.

296

а для хрупких материалов

Стержни, у которых λ < λ0, называют стержнями малой гибкости, т.е. их рассчитывают только на прочность.

На рис. 14.7 изображен график критических напряжений для Ст. 3.

График критических и допускаемых напряжений

Он состоит из трех частей: гиперболы Эйлера, определяемой по формуле (14.16) для стержней большой гибкости ( λ ³100 ), наклонной прямой линии, построенной по формуле (14.20) для стержней средней гибкости ( 40 £ λ £100 ) и прямой параллельной оси λ при малых гибкостях оси (λ < 40), где опасным является достижение критическим напряжением предела текучести, σкр = σт , (14.22, 14.23).

Из приведенного графика видно, что при λ < 100 формула Эйлера дает завышенное значение критических напряжений (пунктирное продолжение гиперболы Эйлера), и, следовательно, потеря устойчивости произойдет при меньшей нагрузке и меньших критических напряжениях, чем это следует из формулы Эйлера. Аналогичные графики могут быть построены и для других материалов, которые по характеру будут соответствовать

297

вышеприведенному и отличаться от него только числовыми значениями. Задаваясь коэффициентом запаса для стержней средней и большой гибкости, который принимают обычно для металлов [n]y = 2–3, для дерева – [n]y = 3–4, можно построить

график допускаемых напряжений (см. рис. 14.7). Этим коэффициентом запаса учитывается, кроме чистого продольного изгиба, еще целый ряд побочных факторов: возможный небольшой эксцентриситет приложения нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и т.д.

Пример 1

Определить запас устойчивости для стального стержня (Ст. 3) круглого поперечного сечения диаметром d = 32 мм, шарнирно закрепленного концами, длиной l = 0,5 м, сжимаемого силой F = 50 кН.

Решение

1. Определяем гибкость стержня.

Гибкость оказалась меньше 100, но больше 40, следовательно, стержень относится к разряду средней гибкости.

2. Определяем критическое напряжение по формуле Ясинского– Тетмайера:

σкр = 310 -1,14 ×62,5 = 238,5 МПа,

коэффициенты а и b определяем из справочных таблиц. 3. Определяем действующее напряжение:

298

Проектировочный расчет, связанный с подбором сечений, – это процесс более трудоемкий. Задача решается методом последовательных приближений.

Пример 2

Подобрать прямоугольное сечение с отношением сторон

h = 2 для стержня с жестко закрепленным одним концом и шар- b

Стержень относится к разряду стержней большой гибкости. 3. Проверяем правильность выбора сечения по уровню 5 %-го

отклонения от заданного запаса устойчивости.

299

критическое напряжение находим по формуле Эйлера.

300