Учебное пособие с заданиями

стное разрушение может быть связано с развитием этих дефектов, то есть только со второй стадией усталости.

Линейная механика разрушения позволяет достаточно точно описать стадию развития трещины усталости и решить ряд практически важных задач, а именно:

¾оценка сопротивления материала развитию трещины и определение влияния на него различных металлургических, технологических и эксплуатационных факторов;

¾сопоставление материалов при обосновании их выбора для машин и конструкций;

¾контроль качества материала;

¾оценка долговечности элементов конструкций и деталей машин на основании данных об их дефектности и напряженном состоянии;

¾установление критериев неразрушающего контроля и

анализа причин разрушения конструкций.

Для решения этих задач определяют характеристики сопротивления развитию трещины путем испытаний образцов с инициированной трещиной при циклическом нагружении.

В процессе испытаний при фиксированных параметрах нагружения последовательно измеряют характерный размер l растущей трещины и число циклов нагружения N. На основании

полученных данных вычисляют скорости роста трещины v = dl dN

и соответствующие этим скоростям максимальные коэффициенты интенсивности напряжений Kmax .

По результатам испытаний партии образцов строят график зависимости скорости роста трещины v от максимального коэффициента интенсивности напряжений Kmax , или от его

размаха K, носящий название диаграммы усталостного разрушения. В двойной логарифмической системе координат эта диаграмма представляет собой s-образную кривую с двумя ярко выраженными асимптотами (рис.20.9), называемыми порогами.

Нижний порог Kth определяет значение Kmax, ниже которого трещина не развивается. Верхний порог Kfc определяет значение Kmax, при приближение к которому скорость развития

281

трещины стремится к бескоlgv нечности, то есть наступает квазихрупкое разрушение. По физическому смыслу Kfc должен равняться K1С, но практически их значения несколько

расходятся.

Средняя часть диаграммы чаще всего описывается степенной функцией в виде:

n вместе с порогами Kth и Kfc

являются характеристиками материала и определяются по результатам испытаний. Аппроксимирующая экспериментальные результаты диаграмма, построенная на основании этих характеристик, показана на рис. 13.9 пунктирными линиями.

ГЛАВА XIV. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ

14.1. Понятие об устойчивости и критической силе

При проектировании инженерных сооружений размеры отдельных частей подбирают таким образом, чтобы напряжения материала не превосходили известных норм (допускаемых напряжений), устанавливаемых на основании опытного исследования прочности материалов. Однако такого расчета для инженерных сооружений далеко не достаточно. Принятые нормы допускаемых напряжений не всегда обеспечивают надлежащую прочность, необходимы дополнительные исследования относительно устойчивости тех форм равновесия, которые приняты при расчете как отдельных частей, так и всего проектируемого сооружения.

На практике особенно часто приходится решать задачу об устойчивости сжатых стержней. Если призматический брусок

282

сжимать силами, действующими по оси, то он будет укорачиваться, сохраняя свою прямолинейную форму. При некоторых условиях прямолинейная форма равновесия может оказаться неустойчивой, и стержень выпучивается, искривляется. Это явление искривления называют «продольным изгибом», оно наступает тем скорее, чем больше длина стержня по сравнению

сего поперечными размерами. В случае очень гибких стержней, например, при сжатии тонкой линейки, явление выпучивания можно наблюдать при очень малых продольных сжимающих напряжениях. Эти обстоятельства указывают на то, что поперечное сечение сжатых стержней должно быть принято не по величине допускаемых при сжатии напряжений, а по величине «критической нагрузки», при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой. Явление продольного изгиба представляет собой простейшую задачу, где приходится разбираться

свопросами устойчивости. Случай этот разработан теоретически и экспериментально, и проверка на продольный изгиб уже давно вошла в практику инженерных расчетов.

Кроме этого простейшего случая, при расчете инженерных сооружений приходится встречаться с гораздо более сложными задачами, требующими дополнительной проверки на устойчивость. Например, часто приходится иметь дело с расчетом пластинок, подвергающихся действию сжимающих усилий, приложенных в срединной плоскости пластинки. При действии таких усилий плоская форма равновесия пластинки может оказаться неустойчивой, и пластинка выпучится. Высокие двутавровые балки, обладающие большой жесткостью в плоскости вертикальной стенки, могут оказаться недостаточно жесткими в направлении, перпендикулярном плоскости стенки, и выпучиться при действии изгибающих сил в плоскости наибольшей жесткости. Тонкостенная цилиндрическая трубка тонкого круглого поперечного сечения при действии всестороннего равномерного наружного давления также может оказаться в состоянии неустойчивого равновесия и сплющиться, когда внешнее давление достигает некоторого «критического» значения. Все эти задачи имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Можно назвать немало случаев крушения крупных инженерных

283

сооружений, явившегося результатом недостаточного внимания к вопросам устойчивости.

Рассчитываемая конструкция, безусловно, будет прочной лишь в том случае, если положенная в основание расчета форма равновесия устойчива. Поэтому для практических приложений необходимо знать то наименьшее значение внешних нагрузок, при котором становятся возможными несколько различных форм равновесия. Величину нагрузки, при превышении которой хотя бы на бесконечно малую величину происходит потеря устойчивости данного вида деформации элемента конструкции, называют критической силой.

Если не гарантирована устойчивость всего сооружения или его отдельных элементов, то теряет смысл и проверка на прочность, так как при его потере устойчивости мгновенно меняется форма равновесия и почти всегда новая форма равновесия сопровождается быстрым нарастанием напряжений, которые в итоге приводят к разрушению сооружения. Известно много случаев катастроф и разрушения больших инженерных сооружений, происшедших в следствие потери устойчивости.

При изучении предыдущих разделов сопротивления материалов всегда выделялось основное явление, а все дополнительные факторы, осложняющие это явление, отбрасывались. Принимая некоторые упрощения в этом случае, считалось, что они мало влияют на окончательный результат. В применении к продольному изгибу такой подход не вполне применим. При продольном изгибе дополнительными факторами будут неизбежное малое начальное искривление стержня, внецентренность приложения нагрузки, т.к. практически невозможно приложить ее точно совпадающей с осью бруса, неоднородность материала и т.д.

При продольном изгибе влияние этих факторов очень существенно. Несмотря на то, что при выводе расчетных формул их отбрасывают, необходимо помнить, что в действительности работа длинных сжатых стержней значительно осложняется всеми перечисленными дополнительными факторами.

Решение задач по исследованию устойчивости элементов конструкций сводится, главным образом, к определению критических нагрузок. Определив последние и вводя коэффициенты

284

запаса устойчивости [n]y, равные отношению критической нагрузки Fкр к допустимой нагрузке F, можно обеспечить устойчивость любого элемента конструкции:

14.2. Устойчивость центрального сжатого стержня в пределах пропорциональности (упругости)

Впервые задача, относящаяся к исследованию вопроса об устойчивости равновесия упругого тела, была решена в 1744 г. Леонардом Эйлером, членом Российской Академии наук.

Им было найдено то значение центрально сжимающей нагрузки F, при котором вертикально заделанный нижним концом стержень начинает искривляться (рис. 14.1).

Пока сжимающая сила F не велика, стержень АВ сохраняет устойчиво свою прямолинейную форму, и деформация будет заключаться в простом сжатии. Если какой-либо горизонтальной силой вызвать небольшое искривление стержня, то по удалении этой силы стержень возвратится к своей первоначальной прямолинейной форме равновесия.

Такая устойчивость прямолинейной формы сохраняется только до известных пределов. Постепенно увеличивая силу F, можно достигнуть такого предельного состояния, когда малейшая причина может искривить стержень, и по удалении причи-

ны, вызвавшей искривление, стержень к прямолинейной форме не возвращается. Задача заключается в том, чтобы определить это «критическое» значение силы F.

Мы предполагаем, что стержень свободно может искривляться в любом направлении, поэтому, очевидно, искривление должно произойти в направлении наименьшего сопротивления, т.е.

285

в плоскости наименьшей жесткости стержня. Выберем эту плоскость наименьшей жесткости за координатную плоскость x, y.

Пусть при некотором значении силы F, большем критического, стержень АВ изогнулся, как показано на рис. 14.1 пунктиром. Если теперь уменьшать постепенно силу F, то уменьшаться будет и искривление стержня. Когда мы в пределе достигнем критического значения F, т.е. того значения, при котором только становится возможным появление искривления, искривленная форма сольется с прямолинейной. Если сжимающая сила на малую величину превосходит критическое значение, то искривленная форма мало отличается от прямолинейной; этим воспользуемся для нахождения значения Fкр. В данном случае здесь мы идем как бы обратным путем: полагаем, что возможна искривленная форма и определяем, какова для этого должна быть сжимающая сила F.

Возьмем какое-либо сечение и напишем для верхней отсеченной части (см. рис. 14.1) условие равновесия внешних и внутренних сил. Для сечения мы имеем:

Дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид

286

Произвольные постоянные определяются из условий на концах изогнутого стержня:

Чтобы удовлетворить условию III, необходимо принять

cos α l = 0 или α l = (2n +1) π . 2

Учитывая условие (14.3, в), получим:

Наименьшее значение Fкр, при котором становится возможным искривление, будет равно

Полученное значение и будет «критической» сжимающей силой, при которой становится возможной предположенная нами искривленная форма равновесия.

Формула (14.8) показывает, что критическая сила пропорциональна наименьшей жесткости стержня и обратно пропорциональна квадрату его длины.

Впервые вывел эту формулу Эйлер, поэтому ее называют формулой Эйлера для определения критической

287

силы при продольном изгибе.

При выводе этой формулы использовалось дифференциальное уравнение изогнутой оси. Оно было справедливо в пределах пропорциональности материала, следовательно, полученная формула будет действительна только в тех случаях, когда напряжения при критической нагрузке не превосходят предела пропорциональности.

14.3. Зависимость критической силы от условий закрепления

От рассмотренной задачи легко перейти и к некоторым другим случаям продольного изгиба. Возьмем, например, стержень, оба конца которого при выпучивании могут свободно поворачиваться (рис. 14.2), т.е. шарнирное закрепление. Касательная в середине выпучивающегося стержня будет параллельна первоначальной оси стержня, и, следовательно, обе половины изогнувшегося стержня будут в таких же условиях, как и в рассмотренном выше случае. Критическая сжимающая сила будет равна

До сих пор мы рассматривали первую форму, которой соответствует наименьшее значение сжимающей силы. Рассмотрим теперь другие формы искривления.

В общем виде упругая линия определяется уравнением

y = δ(1 − cos α z) ,

где αl = (2n +1) π . 2

Мы рассмотрели случай n = 0 и получили первую возможную форму. Полагая n = 1 или n = 2 , найдем

288

Соответствующие кривые представлены на фигурах а и б

(рис. 14.3, а, б).

Распространяя эти кривые симметрично в сторону отрицательных направлений z, как это показано на рисунке пунктиром, получим различные искривления формы равновесия с опертыми концами. В местах пересечения сил F с искривленной осью будем иметь точки перегиба; изгибающей момент для этих точек равен нулю. Все эти высшие формы возможны при больших значениях сжимающей силы, и все они, как показывает опыт, неустойчивы.

Рассмотрим еще один случай, могущий иметь критическое значение – случай сжатия стержня с заделанными концами (рис. 14.4).

Чтобы помешать концам поворачиваться, нужно приложить моменты в плоскостях заделки. Это равносильно приложению сжимающих сил F с некоторым эксцентриситетом. На линии действия сил F должны лежать точки прогиба изогнутой оси стержня. Видно, что полученную кривую опять можно привести

289

т.е. критические сжимающие силы в этом случае в 16 раз больше, чем в первом случае, и в четыре раза больше, чем для шарнирного закрепления (см. формулу (14.9)).

Для стержня длиной l, защемленного на од-

мент на расстоянии x от нижнего конца стержня будет равен

M = Fкр × y - R ×(l - z ) ,

где R – реакция шарнирного закрепления.

EIy¢¢ = -Fy + R (l - z ),

или

y¢¢ + α2 y = R (l - z) ,

при z = l .

290