Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие с заданиями

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

6.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Погрешность ε = -106,16 +108, 54 ×100 = 2, 24 % .
		106,16
9. Подбираем сечение двутавра из условия прочности.
		1		σmax = M max £ [σ] ;
		1		σmax = M max £ [σ] ;
		1		Wx
	М3		W ³ 90 × 103 = 428,6 см3.
		М=1	x	210
		М=1		210
			Выбираем двутавр № 30,
	Рис. 8.19		для	которого момент сопро-
	Рис. 8.19			3
			тивления WХ = 472 см ,
			Jх = 7080 см4.
10. Определяем перемещение сечения А. В выбранной ос-
новной системе (рис. 8.20, а) прикладываем в сечении А еди-
ничную силу F =1, строим от нее эпюру изгибающего момента
M 4 (рис. 8.20, б).
Перемножая по правилу Верещагина эпюры М∑ (см. рис. 8.18, в)
и M 4	(см. рис. 8.20, б), определяем перемещение сечения А.
	VA =	87,34 ×103	= 6, 2 ×10−3 м = 6, 2 мм. .
	VA =	×1011 × 7080 ×10−8	= 6, 2 ×10−3 м = 6, 2 мм. .
	2	×1011 × 7080 ×10−8
		Р=1
		F = 1
2 м	2 м	2 м
		3 м
		а		б
		Рис. 8.20
				161

8.3.3 Использование свойств симметрии в статически неопределимых рамах

Пример

В симметричных рамах, нагруженных симметричной нагрузкой, в сечениях на оси симметрии поперечная сила равна нулю, а нагруженных кососимметричной нагрузкой на оси симметрии равны нулю продольная сила и изгибающий момент (см. рис. 8.21, а, б соответственно).

Тогда для рамы (см. рис. 8.21) в итоге необходимо записать два канонических уравнения:

δ11Х1 + δ12Х2 +	1F = 0,
δ21Х1 + δ22Х2 +	2F = 0.

Для рамы (рис. 8.22) записывается одно каноническое уравнение:

δ11Х1 +

		M = ql2		q M = ql2
						D
	В				A	D
	В				A
			l
l					2l
l					2l
	С					E
				а

M q Х2 Х2 q M

Х1

Рис. 8.21

1F = 0.
M = ql2 q		M = ql2
		D
		q
	l	l
		E
		а
M	q	M
		Х1
	Х1	q
		б
	Рис. 8.21

Рассмотрим решение симметричной рамы с симметричной внешней нагрузкой. Жесткость рамы постоянна.

162

Решение

1.Построить эпюры изгибающих моментов от заданных

иединичных нагрузок (рис. 8.23, а, б, в) для схемы нагружения, показанной на рис. 8.21.

Х1 = 1

Х2 = 1

ql22

M F, м

M1, м

3/2q2L2

3ql

/ 2

Рис. 8.23

2. Определить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Заметим, что в симметричных системах достаточно перемножить эпюры на одной половине рамы. Это приведет к тому, что все коэффициенты канонических уравнений будут половинными.

1			=		1			×	1		×l ×						2	l =						l	3		1											=	1				×(1×l ×1 +1×l ×1) =													2l
		δ								l																			,						δ																						;
2		δ			EJ				2	l							3						3EJ						,						δ					EJ																	;
2		11			EJ				2								3						3EJ				2									22				EJ																EJ
1	δ =			1			×1× l ×						1			l =					l2							,		1			D				= -				1			×	3		ql2 × l ×				l	= -		3ql 4				;
2	δ =						×1× l ×									l =												,					D				= -				EJ			×			ql2 × l ×					= -						;
2		12			EJ								2							2EJ							2								1F						EJ			2						2					4EJ
			1										1									1			ql		2											3				2								5ql3
					D	2F			= -									×						×							×l ×1 +								× ql			2		× l ×1 = -									;
					D				= -									×						×							×l ×1 +								× ql					× l ×1 = -									;
			2											EJ								3			2													2												3EJ
			2											EJ								3			2													2												3EJ
										l		X1 +							1		X 2					-		3				ql 2 = 0, X1												=		8		ql 2 ;
												X1 +									X 2					-						ql 2 = 0, X1												=				ql 2 ;
									3									2									4																	5
												l			X1				+ 2 X 2								-					5		ql2 = 0, X										2 =				13	ql2 .
											2				X1				+ 2 X 2								-							ql2 = 0, X										2 =					ql2 .
											2																3																	30

3. Построить суммарную эпюру изгибающих моментов МΣ. Предварительно построим эпюры М1 и М2, ординаты кото-

рых равны M1 × X1 и M 2 × X 2 (рис. 8.24, а, б).

163

																																13		ql 2
																															30			ql 2
																															30

						М1

																						М2
																						М2

			8	ql 2
			8						1 3				q l 2
		5							1 3
		5
								3 0
					а																			б

										Рис. 8.24
										Рис. 8.24
	Определить изгибающий момент в сечениях на основании
равенства (8.5).

		Сечение					Значение изгибающего момента
	А						MΣ =			13				× ql2
										13

							30

	В –	участок АС					MΣ = -					ql			2	+	13			× ql2 = -				1			× ql2
												ql					13							1
																	30
							2										30					15
	В –	участок ВС					MΣ = -				3			× ql2 +				13				× ql2 = -				16		× ql2
							MΣ = -							× ql2 +								× ql2 = -						× ql2
							2										30					15

	С						MΣ = -				3			× ql 2 +					8		× ql2 +		13		× ql 2 =					8			× ql2
							MΣ = -							× ql 2 +							× ql2 +				× ql 2 =								× ql2
							2										5					30							15

Суммарная эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 8.25. Заметим, что в симметричных рамах с симметричной внешней нагрузкой эпюры М и N также симметричны, а эпюра Q – кососимметрична.

4. Произвести деформационную проверку, перемножив по правилу Верещагина эпюру М∑ (рис. 8.25) и эпюру M 4

(рис. 8.26) для нового основного состояния:

164

M∑Mid z

θE

= ∑

i=1

∫

q(2l)3

×l ×1×2 -

×l ×1×2 +

×1-

2 ×2l ×1

= 0.

5. Построить эпюры продольных и поперечных сил. Применяя метод сечения, составим выражение для попе-

речной и продольной силы на участках.

Рис. 8.25

Рис. 8.26

На горизонтальном участке АВ (см. рис. 8.21, б).

Q( z1) = qz, 0 < z1 < 1;

z1 = 0, QA = 0, z1 = l, QB = ql;

N (z1) = -Х1 = - 8 × ql. 5

На вертикальном участке ВС

Q = - 8 ×ql, N = -ql. 5

На основании симметрии на рис. 8.27, а, б построены эпюры продольных сил и поперечных сил.

165

Рис. 8.27

6. Определить вертикальное перемещение сечения А. Прикладываем единичную силу к основной системе в сече-

нии А (рис. 8.28) и строим от нее эпюру изгибающих моментов.

Перемножая эпюру М∑ и эпюру M3 по правилу Верещагина, получаем искомое вертикальное перемещение сечения А.

	n l	M			d z									3
	n l	M	M		d z					1			ql	3			1				1		13				1		1			1		2
DвертA	= ∑		Fi			i		=		1		-	ql		×		1		l -		1	×	13	ql2 ×l ×			1	l +	1		×	1	ql2 ×l ×	2	l +
DвертA	= ∑							=				-			×				l -			×		ql2 ×l ×				l +			×		ql2 ×l ×		l +
	∫		EJi									12 2 2 30														3 2 15								3
	i=1 0		EJi						EJ			12 2 2 30														3 2 15								3
			+	1		×	16			2	×l	×l -		1		×		8				2	×l	×l	=	7ql 4
								ql												ql										.
				2			15	ql						2				15		ql										.
				2			15							2				15								40EJ

F =1

Рис. 8.28 Рис. 8.29

Рассмотрим симметричную раму с кососимметричной внешней нагрузкой (см. рис. 8.22, б). Эпюра M F остается для левой половины такой же, что и для симметричной (см. рис. 8.23, а). Эпюра от единичного усилия X построена на рис. 8.29.

166

1. Определяем коэффициенты канонического уравнения, находим Х1.

				1					1				1				2											4l		3
						δ11	=					×			l ×l ×				l + l ×l ×l							=					;
				2		δ11	=			EJ		×			l ×l ×		3		l + l ×l ×l							=					;
				2						EJ			2				3											3EJ
		1			1						1		ql	2			3			3												13ql		4
		1	D	=	1		×		-		1	×	ql			×l ×	3	l -		3		ql		2 ×l ×l = -								13ql			;
			D	=			×		-			×				×l ×		l -				ql		2 ×l ×l = -											;
	2		1F			EJ			3			2					4	2														8EJ
	2					EJ			3			2					4	2														8EJ
							4	X1 -					13		ql = 0, Х1 =									39		ql.
							3	X1 -							ql = 0, Х1 =									32		ql.
							3					8												32
															1 × X1 и МΣI = МFi + M1i (рис. 8.30, 8.31).
	2. Строим эпюры M1 = M														1 × X1 и МΣI = МFi + M1i (рис. 8.30, 8.31).

			Сечение													Значение изгибающего момента
А																MΣ = 0
В –	участок АВ															MΣ		= -			ql		2	+	39			× ql 2 =					23	× ql2
																					ql				39								23

																		2						32						32
В –	участок ВС															MΣ		= -			3	× ql 2 +					39		× ql2 = -							9	× ql2
																MΣ		= -				× ql 2 +					32		× ql2 = -								× ql2
																		2									32							32
С																MΣ		= -			3	× ql 2 +					39		× ql2 = -							9	× ql2
																MΣ		= -				× ql 2 +					32		× ql2 = -								× ql2
																		2									32							32

Рис. 8.30

Рис. 8.31

Для симметричной рамы с кососимметричной внешней нагрузкой имеем кососимметричную эпюру изгибающего момента и продольной силы. Эпюра поперечной силы симметрична.

167

3. Анализируем продольные и поперечные силы по участкам балки (см. рис. 8.22, б) и строим их эпюры (рис. 8.32, а, б).

Участок АВ

N = 0;

Q(z1) = -X1 + qz1, 0 £ z1 £ l;

z = 0, Q

= -

× ql, z = l, Q

= -

× ql + ql = -

× ql.

Участок ВС

N = X1

- ql =

× ql - ql =

× ql;

Q = 0.

Рис. 8.32

4. Проводим деформационную проверку. Для этого по правилу Верещагина умножаем эпюру М (см. рис. 8.31) на эпюру основного состояния (см. рис. 8.26), определяя, таким образом, угол поворота сечения Е.

												n		l
												n		l		M Σi Mid z
								θE = ∑						∫		M Σi Mid z						=
								θE = ∑						∫				EJi				=
											i=1 0							EJi
=	1	ql2		×1 -		ql3			×1 +			1	×		23		× ql2		× l ×1			-	1	×	23	× ql	2	× l ×1 -
																											2

			12				12					2			32								2		32
	EJ		12				12					2			32								2		32
					9					2						9			2
				-				× ql			×l ×1			+				× ql		× l	×	1 = 0.
				-	32			× ql			×l ×1			+		32		× ql		× l	×	1 = 0.
					32											32

168

5. Определяем перемещение сечения А.

Так как эпюра М см. рис. 8.28) по виду аналогична эпюре М1 (см. рис. 8.29), то перемещение должно быть равным нулю:

	n l		d z						3
	n l	M M	d z		1			ql	3		1			1		23		2		9
DвертA	= ∑	Σi	i	=	1		-	ql		×	1	×l -		1	×	23	×ql2 ×l ×	2	×l +	9	×ql	2 ×l ×l	=

		EJ						12			2
	∫	EJ	i		EJ			12			2		2		32		3		32
	i=1 0		i
				=		ql4		-	1		-	23	+		9		= 0.

						EJ						96
						EJ		24				96			32

8.3.4. Расчет статически неопределимого вала

Пример

Определить размеры статически неопределимого стального вала из условия прочности, определить угол закручивания сече-

ния А (рис. 8.33).

l = 0,8 м; l1 : l2 : l3 = 2 :1: 2; d1 : d2 : d3 =1:1, 2 :1,1;

M1 = 600 Н×м; M 2 = 400 Н× м; M3 =100 Н×м.

1. Раскрыть статическую неопределимость вала с помощью канонических уравнений метода сил.

Задача один раз статически неопределима. Основная система может быть выбрана путем отбрасывания связи С или В. Загружая основную систему моментами М1, М2, М3 и неизвестным моментом Х1, получаем эквивалентную систему (см. рис. 8.33, б). Неизвестная сила Х1 определяется из канонического уравнения

d11Х1 + D1F = 0.

Коэффициент d11 и свободный D1F член канонического уравнения определяем по способу Верещагина. Перемножая эпюры МкF и M к1 на соответствующих участках, определяем

D1F, умножая эпюру M к1 саму на себя, определяем d11.

δ =

1×l1 ×1

1×l2 ×1

1×l3 ×1

2 +

1,54

GJ ρ1

GJ ρ 2

GJ ρ 3

GJ ρ

2,07

1,46

GJ ρ1

169

M 1

M 2

X 1

МкF,

300

100

H × м

300

Х1=1

М к1

Мк1,

H × М

19,84

280,16

М Σ ,

Н × м

319,84

119,84

19,84

М=1

Мк

Рис. 8.33

где

(1, 2d )4

2, 07d

(1,1d )4

1, 46d 4

J ρ 2 =

; J ρ 3 =

; J ρ 3

D1F

300 ×0,5l1 ×1

300 ×0,5l1

×1

300 ×l2 ×1

100 ×0,5l3 ×1

GJ ρ1

GJ ρ 2

GJ ρ 3

300

100

30,55

= 19,84

Н × м.

2, 07

= -

; X1

GJ ρ1

1, 46

GJ ρ1

1. Построение суммарной эпюры крутящих моментов.

Строим эпюру M к1 = M к1 × X1

(см. рис. 8.33, д) и на основа-

нии равенства МΣI = МкFi + Мк1i –

окончательно суммарную эпю-

ру крутящих моментов (см. рис. 8.33, е).

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.20152.12 Mб19учебно-метод. пособие Экономика.docx
#
05.09.2019292.35 Кб3Учебно-методическое+пособие+по+моделям+экономич...doc
#
21.08.2019396.8 Кб5Учебное пособие ISO 9001-2008-iwanow.doc
#
14.11.20199.63 Mб80Учебное пособие ОСНОВЫ ТЕХМАШ ч. 2.версия 2-я...docx
#
13.03.201623.33 Mб331Учебное пособие по инженерной графике.doc
#
29.03.20156.73 Mб79Учебное пособие с заданиями.pdf
#
29.03.2015776.19 Кб230Учебное пособие.doc
#
13.11.20193.75 Mб17УчебПособ_Гончаровский.doc
#
29.03.201543.04 Кб39УЧР.docx
#
29.03.20151.37 Mб73Фасонные резцы.doc
#
17.12.2018598.53 Кб5Фасхутдинов Дмитрий. Мясо.doc