Учебное пособие с заданиями

Координаты точек силы F, лежащие на границе ядра сечения, имеют следующие значения в зависимости от положений нейтральной линии:

ay = 8, 49 см, ax = ∞,

221

Ядро сечения для заданного поперечного сечения изображено на рис. 10.7.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется внецентренным растяжением (сжатием)?

2.Каково напряженное состояние при этом виде нагружения?

3.Как проходит нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии)?

4.В каких точках сечения возникают наибольшие напряжения?

5.Что такое ядро сечения и как оно определяется?

6.Для каких материалов возникает необходимость определять область ядра сечения?

7.Где будет проходить нейтральная линия, если сила F приложена на главной оси вне области ядра сечения?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источник [1] (гл. 4, § 4.9).

Контрольная работа № 11.

Расчет стержня на внецентренное сжатие

Определить из условия прочности величину допускаемой нагрузки для стержня малой гибкости, найти положение нейтральной линии, построить ядро сечения. Тип сечения приведен на рис. 10.8. Числовые данные принять по табл. 10.1.

222

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить в масштабе сечение с указанием заданных размеров.

2.Определить положение главных центральных осей.

3.Вычислить величины главных моментов и радиусы инерции сечения.

4.Определить положение нейтральной линии и координаты опасных точек.

5.Записать условия прочности и найти величину допускаемой нагрузки.

6.Построить эпюру нормальных напряжений.

7.Построить ядро сечения.

Таблица 10.1

Примечание.

1.Для студентов машиностроительных специальностей размерность a – в см; материал стержня – сталь.

2.Для студентов строительных специальностей размерность a – в м, материал стержня – бетон.

3.Положение силы F указывается преподавателем.

ГЛАВА XI. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ КРУГЛЫХ ВАЛОВ

Совместное действие изгиба с кручением испытывают большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения. Это оси редукторов, валы двигателей, ведущие оси колесных пар локомотивов и многие другие элементы технических устройств.

224

11.1. Вычисление напряжений

На рис. 11.1 показан вал, находящийся под воздействием силы F и скручивающего момента М. Ниже построены эпюры внутренних усилий: попе-

у

Рис. 11.2

В каждой точке опасного сечения возникают следующие напряжения:

1. Нормальное напряжение от изгиба σ = M x y, наибольшее

J x

значение которого σи достигается в точках А и В, лежащих на

контуре поперечного сечения в плоскости действия изгибающего момента:

σи = ± M x .

Wx

225

2.Касательное напряжение τ от поперечной силы τ , определяемое по формуле Журавского и равное нулю в тех точках сечения, где нормальное напряжение достигает максимального значения. Так как это напряжение по сравнению с нормальным напряжением от изгиба весьма мало, то при расчетах на прочность его не учитывают.

3.Касательное напряжение от кручения, достигающее наи-

точки А и В, где нормальное напряжение также имеет максимальное значение.

Таким образом, опасными точками опасного поперечного сечения вала будут точки А и В, наиболее удаленные от нейтральной оси и лежащие в плоскости действия изгибающего момента. В этих точках нормальные напряжения изгиба и касательные напряжения кручения одновременно достигают наибольших значений. Причем для пластичного материала обе точки равноопасны, для неравнопрочного материала обычно опаснее та точка, в которой от изгиба возникают нормальные напряжения растяжения (в нашем примере точка А).

Напряженное состояние элемента, вырезанного в окрестности точки А, показано на рис. 11.3.

Мы имеем в опасной точке плоское напряженное состояние, когда одно из главных напряжений отсутствует (аналогичные напряжения на

гранях элемента имеют место при прямом поперечном изгибе). Главные напряжения определяем по уже известным формулам:

226

Расчет на прочность при изгибе с кручением ведется с использованием теорий прочности. При этом для пластичных материалов применяется третья или четвертая теории прочности, а для хрупких – теория прочности Мора.

По третьей теории прочности из (11.1) получим:

Выражение, стоящее в числителе, называют расчетным изгибающим моментом и обозначают Mрасч:

M расчIII = Mи2 + Mк2 и M расчIV = Mи2 + 0,75Mк2 . (11.5)

Тогда условия прочности по третьей и четвертой теориям запишутся в следующем виде:

227

Для хрупких материалов проверку вала на прочность можно вести с применением критерия прочности Мора (пятой теории прочности):

где k – отношение предела прочности при растяжении к пределу

прочности при сжатии: k = σр .

пч

Если исследуемое сечение испытывает воздействие изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то предварительно определяется суммарный изгибающий момент:

Ми = Мx2 + M y2 .

11.2.Порядок расчета

11.2.1.Определение нагрузок, действующих на вал

Величина скручивающего момента М в рассматриваемом сечении однозначно определяется мощностью N, передаваемой валу, и его угловой скоростью ω:

M = N .

ω

228

Основные нагрузки на вал – это силы от ременных, цепных и зубчатых передач.

Для ременной передачи скручивающий момент создается за счет разности натяжений ветвей ремня Т и t, называемой окружным усилием Fо = T - t. Для нормальной работы передачи необходимо обеспечить предварительное натяжение ветвей R = T + t, которое принимается равным 3Fо. В этом случае Т = 2Fо, t = Fо. В цепной передаче предварительное натяжение принимается равным 1,5Fо, тогда Т = 1,25Fо, t = 0,25Fо.

В зубчатой передаче усилие направлено по линии зацепления (стандартный угол зацепления a = 20°). При расчетах используются его составляющие: окружное усилие Fо и радиальное усилие Fp = Fо×tg a. Радиальное усилие направлено к центру колеса. Направление окружного усилия зависит от роли зубчатого колеса в передаче: у ведомого колеса его направление совпадает с направлением вращения, у ведущего – противоположно вращению.

Окружное усилие для всех видов передач вычисляется по формуле

Fо = 2M , D

где D – диаметр шкива, звездочки, зубчатого колеса соответственно. Силы, действующие на вал, приводятся к оси вала с разложением главного вектора по двум взаимно перпендикулярным плоскостям. После этого строятся эпюры крутящих моментов

Мк и изгибающих моментов Мх и Мy.

11.2.2. Ориентировочный расчет вала

Предварительные размеры вала устанавливаются путем расчета на статическую прочность по максимальному значению действующих нагрузок (без учета циклического характера действия напряжений), но с повышенным коэффициентом запаса прочности [n] = 4–5.

Величина допускаемых напряжений, используемых при ориентировочном расчете, определяется через соответствующие для заданного материала предельные напряжения:

229

ла в сечениях, где расположены элементы передач и подшипниковые узлы, определяются из условия прочности по формуле

11.2.3. Конструирование вала

По конструкции валы обычно изготавливаются ступенчатыми. Назначение ступеней – фиксация деталей в осевом направлении, а также облегчение сборки деталей. При этом должно быть обеспечено свободное продвижение детали по валу до места ее посадки. Диаметры вала в месте посадки должны быть выровнены до стандартных значений.

Для фиксации деталей на валах в осевом направлении служат буртики, высота заплечников h которых ориентировочно может быть принята в зависимости от диаметра вала d. Значения h и d в их взаимной зависимости представлены ниже.

При посадке подшипника диаметр заплечника принимается равным наружному диаметру внутреннего кольца подшипника, а радиус галтели на 0,5 мм меньше внутренней фаски.

Радиус галтели r при переходе от диаметра d к большему диаметру D вала (кроме подшипниковых узлов) принимается в зависимости от высоты заплечников. Значения r и d приведены ниже.

230