Левченко 2 часть

3

УДК 539.3/8(07)

Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению рас- четно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч. 2 / Н. Б. Левченко; СПбГАСУ. СПб., 2001. - 110 с.

В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-проектировочные работы, по теме "Изгиб" с подробными объяснениями.

Ил. 55. Табл. 3. Библиогр. 7 назв.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В. З. Васильев (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения); д-р техн. наук, проф. В. В. Улитин (Санкт-Петербургский государст-

венный университет низкотемпературных и пищевых технологий)

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

©Н. Б. Левченко, 2001

©Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2001

4

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ

Впроцессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РПР – сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер.

Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в методических указаниях [4], по которым студенты выбирают схемы решаемых задач.

Вданном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать, в каких единицах Вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для инженерных расчетов.

Расчетно-проектировочные работы оформляются на стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для замечаний препода-

5

вателя. После выполнения всех задач, входящих в расчетнопроектировочную работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нагрузки:

F – сосредоточенная сила, кН;

M – сосредоточенная пара сил (момент), кН м;

q – интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

x – продольная ось стержня;

y, z – главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

A – площадь поперечного сечения, см2;

Sy, Sz – статические моменты относительно осей y, z, см3;

Iy, Iz – осевые моменты инерции относительно осей y, z, см4; Ip– полярный момент инерции, см4.

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

Qy , Qz , (Q) – поперечные силы, кН;

My , Mz, (M) – изгибающие моменты кН м; Mк – крутящий момент, кН м.

Напряжения:

σx , σy , σz , (σ) – нормальные напряжения, МПа; τxy , τyz , τzx , (τ) – касательные напряжения, МПа; σ1, σ2 , σ3 , (σгл) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

εx , εy , εz , (ε) – относительные продольные деформации; γxy , γyz , γzx , (γ) – угловые деформации (углы сдвига);

∆l – абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (перемещение точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см;

ϕ – угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад; θ – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

6

Характеристики материала:

σпц – предел пропорциональности, МПа; σт – предел текучести, МПа;

σв – временное сопротивление (для хрупких материалов σрв– предел прочности при растяжении, σсв– предел прочности при сжатии), МПа;

[σ], [τ] – допускаемые напряжения, МПа; E – модуль упругости, МПа;

ν– коэффициент Пуассона;

α– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

7

4. ИЗГИБ

Основные понятия и формулы

Изгиб – такой вид деформации стержня, при котором его ось искривляется. Стержень, подверженный изгибу, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой. В данном разделе рассматриваются балки и рамы, подверженные плоскому поперечному изгибу. В этом случае вся нагрузка приложена перпендикулярно оси стержня в одной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии поперечного сечения; изогнутая ось является плоской кривой. При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.

Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента зависят от вида рассматриваемой конструкции (прямолинейная балка, рама, криволинейный стержень) и приведены в соответствующих разделах.

Перед тем, как использовать метод сечений для определения внутренних усилий, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 4.1 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 4.1, б) и подвижной (рис. 4.1, в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 4.1, а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реак-

9

• касательные напряжения определяются по формуле Журавско-

го2:

QS o (z)

τxz = τ = y . (4.2)

I yb(z)

В формуле Журавского Q – значение поперечной силы в рассматриваемом сечении; S oy (z) – статический момент отсеченной части сече-

ния, зависящий от того, в какой точке определяется касательное напряжение; b(z) – ширина сечения на уровне точки, в которой находится напряжение. Например, на рис. 4.2, б заштрихована отсеченная часть сечения и показана ширина b(z) при определении касательных напряжений в точках, удаленных от оси y на расстояние z.

Рис. 4.2. К определению напряжений при изгибе:

а– распределение нормальных напряжений по высоте балки;

б– определение отсеченной части сечения в формуле Журавского

Из формулы (4.1) следует, что максимальные нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от оси y (нейтральной оси). Для определения максимальных напряжений из формулы (4.1) можно получить

2 Заметим, что формула Журавского для стержней массивного поперечного сечения дает величину не полного касательного напряжения τx, а его проекции на ось z (τxz). Для тонкостенных стержней (двутавр, швеллер) по формуле Журавского можно найти полное касательное напряжение τx в любой точке поперечного сечения.

где Wy = I y zmax – момент сопротивления балки при изгибе. Для

балок круглого и прямоугольного сечений моменты инерции и моменты сопротивления находятся по формулам

Закон распределения касательных напряжений, определяемых по формуле Журавского, зависит от формы поперечного сечения. Для балок круглого и прямоугольного сечений касательные напряжения изменяются по высоте балок по закону квадратной параболы (рис. 4.3, а). Они равны нулю в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y, и максимальны в точках, лежащих на оси y. Из формулы (4.2) для балок круглого и прямоугольного сечений следуют формулы для определения максимальных касательных напряжений

Очень часто употребляемым сечением для балок является двутавр. Касательные напряжения в полках и стенках двутавровой балки распределяются по разным законам. Наиболее важными при проверке прочности являются касательные напряжения в стенке двутавра. На рис. 4.3, б показана эпюра распределения касательных напряжений в стенке двутавра. Максимальные касательные напряжения в двутавровой балке так же, как и в балках круглого и прямоугольного сечений, действуют в точках, лежащих на нейтральной оси y. Об определении касательных напряжений в двутавре подробно будет сказано при решении задачи о проверке прочности двутавровой балки.