Левченко 2 часть

13

4.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление мате-

риалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 ( § 2.4–2.5), гл. 4 (§ 4.1, 4.2), гл. 6 (§ 6.1–6.3), гл. 7 (§ 7.1, 7.2), гл. 8 (§ 8.1–8.5, 8.9).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 21–25), гл. 15, гл. 8.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 5 (§ 5.1–5.5), гл. 7 (§ 7.1–7.8, 7.10, 7.13–7.14), гл. 11 (§ 11.4, 11.5).

Основные определения

Статически определимая балка – балка, в которой опорные реакции, а, следовательно, и внутренние усилия можно найти из одних уравнений статики.

Осваивать расчет статически определимых балок удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

1.Определение внутренних усилий в балках.

2.Проверка прочности балок.

3.Определение перемещений и проверка жесткости балок. Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на

примере конкретных задач.

Примеры решения задач

4.1.1. Определение внутренних усилий в балках при плоском поперечном изгибе (задачи № 12–15)

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление мате-

риалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.5).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 22).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.1–7.5).

14

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Введем правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если она обходит сечение по часовой стрелке (т. е. сила, находящаяся слева от сечения и направленная вверх, или сила, находящаяся справа от сече-

Q > 0 Q > 0

Рис. 4.5. Правило знаков: а – для поперечной силы; б – для изгибающего момента в балке

ния и направленная вниз, – положительны) (рис. 4.5, а). Изгибающий момент положителен, если он изгибает балку выпуклостью вниз. Обращаем внимание на то, что знак внутреннего усилия – изгибающего момента – зависит от того, с какой стороны от сечения находится момент3. Как видно из рис. 4.5, б момент, находящийся слева от сечения, действует по часовой стрелке, а момент, расположенный справа от сечения, – против часовой стрелки. И оба они положительны.

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Та-

3 Не следует путать правило знаков для внешних моментов, которое используется при составлении уравнений равновесия и часто зависит от желания составителя уравнения, с правилом знаков для изгибающего момента – внутреннего усилия.

15

кое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Известно [2], что изгибающий момент М, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки q связаны между собой такими дифференциальными зависимостями:

При выводе формул (4.11)–(4.13) нагрузка q считалась положи-

тельной, если она направлена вниз.

Из определений для поперечной силы и изгибающего момента, а также из дифференциальных зависимостей (4.11)–(4.13) вытекают следующие правила проверки правильности построения эпюр Q и М:

1.На эпюре Q под сосредоточенной силой имеет место скачок на величину этой силы. На эпюре М в этом сечении должен быть перелом, т. е. резкое изменение угла наклона прямой (или касательной к кривой).

2.На эпюре М скачок имеет место под сосредоточенной парой на величину этой пары.

3.Из зависимостей (4.11), (4.12) можно определить вид функций Q и М:

•если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), то Q = const , а М – линейная функция x;

•если на участке действует равномерно распределенная нагрузка (q = const), то Q – линейная функция, а М – квадратная парабола;

•если на участке действует линейно распределенная нагрузка, то соответственно Q является квадратной параболой, а М – кубической.

16

4. Характер поведения функции на участке (то есть ее возрастание или убывание) зависит, как известно, от знака первой производной функции. И из дифференциальных зависимостей (4.11), (4.12) следует:

•если на участке распределенная нагрузка q > 0 (действует вниз), то поперечная сила Q на этом участке является убывающей функцией;

•если на участке поперечная сила положительна, то функция М(x) возрастает;

• если на участке в каком-то сечении x0 функция Q(x0 ) = 0 ,

то на эпюре М в этом сечении имеет место экстремум.

5. По знаку второй производной функции определяется выпуклость функции. Из зависимости (4.13) вытекает, что эпюра М всегда имеет выпуклость в сторону действия распределенной нагрузки (q – вниз, выпуклость – вниз и наоборот). По знаку второй производной от Q можно определить выпуклость эпюры Q. Из (4.11)

Это означает, что приращение изгибающего момента ∆М на участке между сечениями х1 и х2 равно площади эпюры Q на указанном участке.

Примечание. Зависимости (4.11) и (4.12) и перечисленные правила справедливы, если начало отсчета x вести слева направо и эпюру М строить со стороны растянутых волокон.

Рекомендуем после построения эпюр обязательно проанализировать результаты, проверив выполняются ли все перечисленные правила в решенной Вами задаче.

18

Решение

Прежде всего найдем опорные реакции. Балка имеет жесткое защемление на правом конце4 и в этом закреплении при заданной вертикальной нагрузке возникают две опорные реакции: вертикальная реакция RA и реактивный момент MA. Горизонтальная реакция при действии вертикальной нагрузки равна нулю. Это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Определим RA и MA, используя два других уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, в каждое из которых входит только одна неизвестная. В данном случае такими уравнениями являются "сумма проекций всех сил на вертикальную ось (ось z) равна нулю" и "сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю":

∑z = 0; − F1 + F2 + q1a − q2b − RA = 0 ;

∑mA = 0;

−F1(a + b + c) + F2 (b + c) + q1a(a / 2 + b + c) − q2b(b / 2 + c) − M + M A = 0.

Из первого уравнения найдем RA = 30 кН, из второго – МА =5 кН м. Полученные положительные знаки опорных реакций подтверждают выбранные нами направления опорных реакций: RA – вверх, а МА – против часовой стрелки. Для проверки рекомендуем использовать любое другое уравнение равновесия, например ∑mB = 0:

– 30 2 – 15 2 1 – 60 + 10 1 2,5 + 30 4+5 = – 150 + 150 = 0.

Теперь определяем внутренние усилия: поперечную силу Q и изгибающий момент М. В соответствии с методом сечений рассекаем балку на каждом участке (в данной задаче их три) произвольным сечением и рассматриваем все силы, расположенные с одной стороны от сечения: слева или справа. Удобно рассматривать все силы с той стороны от сечения, где сил меньше. Начало отсчета координаты x на каждом участке можно выбирать произвольным образом. Например,

4 В балке с заделкой можно строить эпюры Q и М без определения опорных реакций, рассматривая все силы с одной стороны от сечения – со свободного конца. Но студенту, только начинающему осваивать построение эпюр, рекомендуем все же реакции находить. Это дополнительная проверка правильности решения задачи.

19

на рис. 4.6, а начало отсчета x на каждом участке – свое и находится в начале участка. Запишем выражения для Q и М на каждом участке.

Участок 1: 0 ≤ x1 ≤ a .

Рассмотрим силы, расположенные слева от сечения. По определению поперечной силы и с учетом правила знаков для Q (см.

рис. 4.5, а):

Q(x1 ) = F1 −q1x1 .

Здесь q1x1 – равнодействующая равномерно распределенной нагруз-

ки, действующей слева от сечения.

По определению изгибающего момента и с учетом правила знаков для М (см. рис. 4.5, б):

M (x1 ) = F1x1 −q1x1 x1 2 ,

где во втором слагаемом x1 2 – плечо равнодействующей равномерно распределенной нагрузки ( q1x1), взятой слева от сечения (равнодей-

ствующая приложена по середине длины отсеченной части балки x1). Для построения эпюр найдем значения Q и М на границах уча-

стка:

Участок 2: 0 ≤ x2 ≤ b .

Снова рассмотрим все силы, расположенные слева от сечения.

Q(x2 ) = F1 −q1a − F2 + q2 x2 ;

M (x2 ) = F1(a + x2 ) −q1a(a2 + x2 ) − F2 x2 + q1x2 x2 2 .

Участок 3: 0 ≤ x3 ≤ c.

Теперь рациональнее рассмотреть все силы справа от сечения. Тогда

Q(x3 ) = −RA ;

M (x3 ) = M A + RA x3.

20

Из этих выражений следует, что поперечная сила на третьем участке – постоянная величина, а изгибающий момент меняется по линейному закону и на границах участка имеет следующие значения:

вначале участка ( x3 = 0) M = M A,

вконце участка ( x3 = c ) M = M A + RAc.

Запишем результаты определения внутренних усилий в таблицу, сосчитав численные значения Q и М на границах участков (табл. 1).

Таблица 1

Из таблицы видно, что поперечная сила на первом участке меняет свой знак, т. е. график Q пересекает нулевую линию. Это значит, что изгибающий момент на этом участке имеет экстремум. Найдем максимальное значение М на этом участке. Сначала определим то значение координаты х1, при котором поперечная сила равна нулю.

Чтобы найти максимальное значение изгибающего момента, подставим х0 в выражение для М на первом участке:

M max = M (x0 ) = 20 1,33 −7,5 1,332 =13,3 кН м.

По результатам вычислений в таблице строим эпюры Q и М на каждом участке (см. рис. 4.6, б). Не забываем после построения эпюр проанализировать результаты по тем правилам проверки правильности построения эпюр, которые перечислены ранее.