Левченко 2 часть

102

Решение

Прежде всего, построим эпюры внутренних усилий в стержне. Сначала определим опорные реакции обычным путем, составляя три уравнения равновесия. Найденные опорные реакции показаны на рис. 4.52. Для определения внутренних усилий рассечем стержень на

N(x) =0;

Q(x) = −RA = −20кН;

M (x) = M − RA x = 40 −20 x ;

участок 2: 0 ≤ ϕ1 ≤ π2;

N (ϕ1 ) = RA cosϕ1 = 20cosϕ1; Q(ϕ1 ) = −RA sin ϕ1 = −20sin ϕ1;

M (ϕ1 ) = −M + RA[l + R(1 −cosϕ1 )]= 40(1 −cosϕ1 ) ;

участок 3: 0 ≤ ϕ2 ≤ π2;

N (ϕ2 ) = −RB cosϕ2 − H B sin ϕ2 = −20cosϕ2 −40sin ϕ2 ; Q(ϕ2 ) = −RB sin ϕ2 + H B cosϕ2 = −20sin ϕ1 + 40cosϕ2 ;

M (ϕ2 ) = −RB R(1 − cos ϕ1) + H B R sin ϕ2 = −40(1 −cos ϕ2 ) + +80 sin ϕ2 .

По этим выражениям строим эпюры N, Q и М. В криволинейной части стержня считаем величины усилий, задавая значения ϕ1 (или

ϕ2 ) через определенные промежутки (например, через 30°). Внесем результаты вычислений в таблицу (табл. 3).

103

Таблица 3

Отложим значения усилий в криволинейной части стержня в радиальном направлении, соединим ординаты плавными кривыми и получим эпюры N, Q и М (рис. 4.53). Эпюры штрихуем в радиальном направлении. Заметим, что так же, как и в прямолинейных стержнях, в сечении, где Q = 0, на эпюре М имеет место экстремум. Найдем экстремальное значение момента:

Q(ϕ*) = −20 sin ϕ* +40 cos ϕ* = 0 , отсюда ϕ* = arctg2 = 63°30′.

M max = −40(1 −cos 63°30′) +80 sin 63°30′ = 49,4кН м.

В сечении ϕ2 = ϕ* = 63°30′ действует так же продольная сила

N = – 44,7 кН.

Построим эпюру нормальных напряжений, определив значения напряжений в трех точках (a, b, c на рис. 4.54) опасного сечения по формуле (4.39), добавив в нее напряжения от продольной силы. Так как рассматриваемый криволинейный стержень является стержнем средней кривизны ( R c = R 2 h = 4 0,8 = 5), то допустимо искать ве-

личину z0 по приближенной формуле (4.40)

I y = bh3 = 0,4 0,83 = 0,01707м4; 12 12

105

Эпюра напряжений построена на рис. 4.54.

Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, составляет около 15 %. Напомним, что в рассматриваемом стержне отношение Rc = 5. Разница между напряжениями, вычисленными по

разным формулам, уменьшается с увеличением отношения Rc . Для стержней малой кривизны ( Rc >10 ) можно вычислять σ по теории

прямолинейных стержней.

Найдем теперь горизонтальное перемещение левой опоры. Для этого приложим в точке А горизонтальную единичную силу (рис. 4.55), найдем опорные реакции и запишем выражения для продольной силы и изгибающего момента, вызванных этой единичной силой, на каждом участке:

участок 1: 0 ≤ x ≤ l ;

106

При определении перемещений используем формулу (4.42) для прямолинейных стержней. Подставим в нее выражения для продольной силы и изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичной силы и, принимая во внимание, что на прямолинейном участке

107

Как легко выяснить, числитель первого слагаемого измеряется в кН м, а числитель второго – в кН м3. Найдем жесткости стержня при растяжении и изгибе:

= 74,6 10-4см.

Первое слагаемое в сумме показывает вклад продольной силы в перемещение. Видно, что он незначителен.

В заключение найдем горизонтальное перемещение точки А по формуле для криволинейных стержней (4.41). Сосчитаем значение третьего интеграла в

(4.41):

π/ 2

∫(NM1 + N1M )Rdϕ = ∫20cosϕ1Rsin ϕ1Rdϕ1 +

+ ∫40(1 −cosϕ1 )(−1)sin ϕ1Rdϕ1 + ∫−20(cosϕ2 + 2sin ϕ2 )Rsin ϕ2 Rdϕ2 +

0 0

π/ 2

+∫−40[(1 −cosϕ2 ) −2sinϕ2 ](−1)sin ϕ2 Rdϕ2 = – 251,2 кН м2.

0

Полученный результат показывает, что влияние кривизны стержня на перемещение меньше 3 % и значительно меньше, чем влияние на напряжения. Поэтому для стержней малой и средней кривизны при определении перемещений можно использовать формулу Максвелла – Мора, относящуюся к прямолинейным стержням и учитывающую влияние на перемещения только изгибающего момента.

108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1.Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.

2.Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз,

1977.

3.Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк.,

1989.

4.Сопротивление материалов и основы строительной механики: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-проектировочным работам для студентов

всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И. А. Куприянов, Н. Б. Левченко. СПб., 1999.

5. Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчет- но-проектировочных работ. Ч. 1. / Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая. СПбГАСУ; СПб., 2001.

Дополнительная

6.Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969.

7.Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М., 1976.

109

СОДЕРЖАНИЕ

Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ.......................

Используемые обозначения........................................................................................

4.ИЗГИБ....................................................................................................................

4.1.Расчет статически определимых балок.....................................................

Примеры решения задач.......................................................................................

4.1.1.Определение внутренних усилий в балках (задачи № 12–15)..............

Пример 1............................................................................................................

Пример 2............................................................................................................

4.1.2.Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (зада-

чи № 16–19).......................................................................................................

Пример 1...........................................................................................................

Пример 2. .........................................................................................................

Пример 3...........................................................................................................

4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (зада-

чи № 19, 20)........................................................................................................

Примеры решения задач

Определение перемещений в балках аналитическим способом....................

Определение перемещений в балках методом Максвелла – Мора................

4.2.Расчет статически определимых рам........................................................

Примеры решения задач...................................................................................

4.2.1.Определение внутренних усилий в рамах (задачи № 21, 22)...............

4.2.2.Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22).........................

4.3.Расчет статически неопределимых балок и рам......................................

Примеры решения задач...................................................................................

4.3.1.Расчет статически неопределимой балки (задача № 23).......................

4.3.2.Расчет статически неопределимой рамы (задача № 24).......................

4.4.Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давле-

ние.........................................................................................................

Пример расчета трубопровода (задача № 26)......................................................

4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стерж-

не...

Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)...................................

Список литературы.....................................................................................................

110

Нина Борисовна Левченко

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть 2

Редактор А.В. Афанасьева Корректор К.И. Бойкова Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

ЛР № 020282 от 24.12.96

Подписано к печати 20.10.2001. Формат 60х84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500. Заказ . "С" Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.