Левченко 2 часть

71

бающий момент, вызванный этой нагрузкой (координаты x1, x2 , x3

должны отсчитываться так же, как при определении момента от заданной нагрузки):

M1 (x2 ) = H A 4 − RA x2 = 6 −1 x2 ;

участок 3: 0 ≤ x3 ≤ 2м;

M1(x3 ) = H B x3 = 3/ 2 x3 .

Аналогично для определения второго обобщенного перемещения – угла поворота сечения А – приложим в точке А сосредоточенную пару сил, равную единице (рис. 4.29, б), и определим изгибающий момент от этой пары:

участок 1: 0 ≤ x1 ≤ 4 м;

M 2 (x1 ) = H A x1 −1 =1/ 2 x1 −1;

M 2 (x3 ) = H B x3 =1/ 2 x3.

Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулы Максвелла – Мора

Подставим в формулу Максвелла – Мора (4.21) выражения для изгибающих моментов от заданной нагрузки, найденные ранее при определении внутренних усилий в рассматриваемой раме, умножим их на выражения для изгибающих моментов от единичных обобщенных сил на всех трех участках и выполним интегрирование. Тогда, учтя, что EI = const , проинтегрируем формулу (4.21):

В соответствии с правилом знаков метода Максвелла – Мора положительный знак вертикального перемещения говорит о том, что точка В перемещается по направлению обобщенной силы, то есть вверх. Сечение А поворачивается по часовой стрелке (в сторону, противоположную направлению единичной пары сил, так как знак угла поворота отрицательный).

Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина

Построим эпюры моментов от заданной нагрузки М и от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям, М1 и М2 (рис. 4.30). Для перемножения эпюр разобьем эпюру М на 4 простые фигуры: два треугольника ω1 и ω3, сегмент ω2 и трапецию ω4. Найдем ординаты под центрами тяжести этих фигур на эпюре М1 (η1, η2 и η3 на рис. 4.30, б). Эпюру М на ригеле, имеющую форму трапеции ω4 с основаниями разного знака, умножаем на трапецию эпюры М1 по правилу трапеций (4.24). Согласно правилу Верещагина

б– от единичной обобщенной силы, соответствующей δвертB . ; в – от единичной обобщенной силы, соответствующей ϕA

74

4.3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК И РАМ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление мате-

риалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 9 (§ 9.1–9.3).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 9.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 12 (§ 12.1–12.6).

Основные определения

Статически неопределимые балки и рамы – конструкции, в

которых уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции. Будем рассматривать балки и простые рамы, то есть такие конструкции, в которых связями, обеспечивающими геометрическую неизменяемость, являются опорные закрепления (опорные связи). Для обеспечения геометрической неизменяемости балки (рамы) в плоскости достаточно трех связей. Каждая связь запрещает какое-то перемещение. Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними.

75

Перед расчетом статически неопределимой конструкции необ-

ходимо сначала определить степень статической неопределимости

рассматриваемой системы. Для балок и простых рам степень статической неопределимости равна числу лишних опорных связей. В каждой связи возникает опорная реакция, поэтому степень статической неопределимости можно найти, сосчитав разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом независимых уравнений статики. Например, балка на рис. 4.32, а является один раз статически

Рис. 4.32. К расчету статически неопределимой балки:

а– заданная статически неопределимая балка;

б– основная система и условие совместности деформаций (вариант 1);

в– основная система и условие совместности деформаций (вариант 2)

неопределимой, так как имеет 4 связи и 4 неизвестные опорные реакции, а количество независимых уравнений равновесия – 3. В раме, показанной на рис. 4.34, а, число наложенных связей и опорных реакций в них равно 5, и эта рама является дважды статически неопределимой. Если в один из стержней балки (рамы) врезан шарнир, то количество связей уменьшается на единицу, так как становится возможным взаимный поворот сечений, примыкающих к шарниру. Появляется дополнительное уравнение для определения опорных реакций: "изгибающий момент в шарнире равен нулю" или можно сказать по-другому: "сумма моментов всех сил, расположенных слева (или справа) от шарнира, равна нулю". Так, балка с врезанным в точке Е шарниром, показанная на рис. 4.33, а, является один раз статически неопределимой: от 5 опорных связей надо вычесть одну связь, связанную с наличием дополнительного шарнира в точке Е. Из четырех оставшихся связей одна является лишней. Можно сосчитать степень статической неопределимости этой балки и иначе: для определения пяти опорных реакций можно составить четыре уравнения статики

77

сти деформаций используются физические уравнения (закон Гука). Из решения полученной системы уравнений можно найти все неизвестные реакции и определить внутренние усилия.

Для уменьшения в системе уравнений количества неизвестных, которые определяются в первую очередь, при расчете балок и рам чаще всего используют прием, связанный с выбором основной системы. Основная система – это статически определимая конструкция, полученная из заданной системы путем отбрасывания лишних связей. Реакции в отброшенных связях принято называть лишними неизвестными и обозначать Хi. Решение задачи (раскрытие статической неопределимости) сводится сначала к определению лишних неизвестных. Для их нахождения используются уравнения совместности деформаций – это условия кинематической эквивалентности основной и заданной систем, то есть равенства, приравнивающие нулю деформации по направлению отброшенных в основной системе связей. Количество уравнений совместности деформаций равно степени статической неопределимости. Зная величины лишних неизвестных, можно найти из уравнений равновесия остальные реакции. Обсудим подробно, как выбирать основную систему и записывать уравнения совместности деформаций.

На рис. 4.32, б, в – 4.34, б, в показаны по два варианта основных систем, выбранных для заданных систем, изображенных на рис. 4.32, а – 4.34, а. Балка на рис. 4.32, а один раз статически неопределима, для выбора основной системы необходимо отбросить одну связь. В первом варианте основной системы, изображенном на рис. 4.32, б, отброшена подвижная опора в точке В. Вертикальная реакция в отброшенной связи (лишняя неизвестная) обозначена буквой Х. Условие совместности деформаций для этого варианта основной системы: wB = 0 – это условие, приравнивающее нулю вертикальное

перемещение (прогиб) в точке В балки, так как в заданной системе этот прогиб был невозможен. Во втором варианте на рис. 4.32, в жесткое защемление заменено шарнирно-неподвижной опорой. Лишней неизвестной является реактивный момент. Поскольку в точке А стал возможным поворот сечения, то условие совместности деформаций полагает этот угол поворота равным нулю: ϕA = 0.

80

Примеры решения задач

4.3.1. Расчет статически неопределимой балки (задача № 23)