Левченко 2 часть

52

Для определения постоянных С и D запишем граничные условия: в заделке (в сечении А, где находится начало координат) угол поворота и прогиб балки равны нулю, то есть

Подставляя эти условия в выражения для угла поворота и прогиба на

первом участке, найдем, что

C = 0 и D = 0 .

Теперь можно определить заданные перемещения. Для определения угла поворота в сечении В подставим в выражение для угла поворота на первом участке (только до черты с номером I) значение

Всоответствии с правилом знаков отрицательный знак угла поворота для выбранного начала координат х справа означает, что поворот сечения происходит по часовой стрелке.

Всечении С, где требуется найти прогиб, координата х равна 4 м, и это сечение находится на третьем участке балки, поэтому под-

ставляем х = 4 м в выражение для прогибов, используя слагаемые на всех трех участках:

+ (q1 + q2 ) 24 = −67,1кН·м3. 24

Знак минус у найденного прогиба показывает, что сечение С перемещается вверх. Покажем найденные перемещения на изогнутой оси балки. Чтобы нарисовать ось балки после деформации, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.20, б). Положительный знак эпюры М на участке показывает, что балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном знаке М изогнутая ось имеет выпуклость вверх. Кроме того, деформированная ось балки должна удовлетворять условиям закрепления: в нашем случае на правом конце балка имеет жесткое защемление, и, как уже отмечалось при записи граничных условий, прогиб и угол поворота в защемлении должны

53

равняться нулю. На рис. 4.20, г изображена ось рассматриваемой балки после деформации, удовлетворяющая этим условиям. На изогнутой оси показаны найденные прогиб в сечении С и угол поворота сечения В с учетом их знаков.

В заключение сосчитаем прогиб балки в сантиметрах, угол поворота в радианах и проверим условие жесткости. Найдем жесткость ЕI рассматриваемой деревянной балки из трех бревен радиусом 12 см. Момент инерции поперечного сечения

Модуль упругости дерева Е = 104 МПа = 103 кН / см2. Тогда

EI =103 48833 = 48,8 106 кН·см2.

Прогиб балки в сечении С

= − 67,1 106 = −

wC 1,38 см, 48,8 106

а угол поворота сечения В

ϕB = − 20 1046 = −0,410 10−2 рад. 48,8 10

Очевидно (см. рис. 4.20, г), что найденный прогиб балки в сечении С является максимальным, поэтому для проверки условия жесткости сравним его с допускаемым прогибом. Для балки длиной l = 4 м допускаемый прогиб согласно условию [w] = 400200 = 2см.

Таким образом, максимальный прогиб wmax = wC =1,38 см меньше допускаемого, и условие жесткости выполняется.

Пример 2

Условие задачи

В балке с двумя консолями, показанной на рис. 4.21, а надо найти угол поворота сечения А и прогиб сечения D, используя аналитический способ. Сечение балки – двутавр № 24.

54

Решение

Выберем начало отсчета координаты х на левом конце балки в точке А и запишем выражение для изгибающего момента на всех участках с учетом правил Клебша :

M (x) = 0 I − RB (x −1) + M (x −1)0 II + RC (x −5) III .

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16) и проинтегрируем его дважды:

Рис. 4.21. К решению примера 2 аналитическим способом:

а– схема балки с нагрузками;

б– эпюры внутренних усилий;

в– изогнутая ось балки

55

Найдем произвольные постоянные С и D из граничных условий. В точках В и С, где находятся опоры, прогибы не возможны. Поэтому

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными С и D. Решая эту систему, найдем С = 40 кН·м2, D = – 40 кН·м3. Проанализируем результат, используя геометрический смысл произвольных постоянных С и D. На рис. 4.21, в показана изогнутая ось балки, соответствующая эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления. Точка А, находящаяся в начале координат, перемещается вверх, и поэтому следует ожидать, что D = EIw0 = EIwA будет иметь в соот-

ветствии с правилом знаков отрицательный знак. Сечение в точке А поворачивается по часовой стрелке, поэтому постоянная C = EIϕ0 = EIϕA должна быть положительна. Полученные знаки С и

D не противоречат проведенному анализу.

Теперь можно найти искомые перемещения. Угол поворота сечения А определим, подставив в выражение для w′(x) на первом уча-

стке значение х = 0, то есть

EIϕA = EIw′(x = 0) = C = 40 кН·м2.

Чтобы найти прогиб в точке D, в выражение для прогибов w(x)

подставляем x = 6 м, используя все слагаемые этого выражения, так как точка находится на последнем третьем участке:

Разделим полученные результаты на жесткость балки, чтобы сосчитать угол поворота в радианах, а прогиб в сантиметрах. Жесткость стальной двутавровой балки № 24:

EI = 2 104 3460 = 6,92 107 кН·см2.

Угол поворота сечения А

Положительные знаки полученных перемещений свидетельствуют о том, что поворот сечения А происходит по часовой стрелке, а точка D перемещается вниз. Изогнутая ось балки с найденными перемещениями и точкой перегиба показана на рис. 4.21, в.

Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора

Пример 1

Условие задачи

Найдем перемещения – прогиб сечения С и угол поворота сечения В в балке, показанной на рис. 4.20, а, методом Максвелла – Мора и сравним их с теми же перемещениями, найденными ранее аналитическим способом.

Решение

В соответствии с методом Максвелла – Мора перемещения находим по формуле (4.21). Рассмотрим два варианта использования этой формулы:

•аналитическое интегрирование формулы;

•интегрирование с помощью правила Верещагина.

Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулы Максвелла – Мора

Для определения перемещений по формуле (4.21) выпишем выражения для изгибающих моментов в балке от заданной нагрузки на каждом участке балки. Начало координат х можно выбирать произвольным образом, например, так, как показано на рис. 4.22, а. Тогда выражения для изгибающих моментов на трех участках будут такими:

а– заданная нагрузка на балку;

б– обобщенная сила, соответствующая углу поворота в точке В;

в– обобщенная сила, соответствующая прогибу в точке С

M (x3 ) = M A + RA x3.

Найдем сначала угол поворота сечения В балки. Загрузим балку в сечении В единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению, то есть парой сил, равной единице (рис. 4.22, б). Запишем выражения для изгибающих моментов M1(x) на каждом

участке от единичной пары сил. Начало отсчета координаты х должно

59

и методе Максвелла – Мора. Обсудим полученные знаки перемещений. Положительный знак угла поворота показывает, что поворот происходит по направлению обобщенной силы. Поскольку единичная пара принята направленной по часовой стрелке, то и сечение В поворачивается по часовой стрелке. Отрицательный знак прогиба означает, что сечение С перемещается в сторону, противоположную принятому направлению единичной силы, то есть вверх. Таким образом, результаты решения полностью совпадают с полученными ранее аналитическим методом.

Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина

Как отмечалось раньше, процесс интегрирования формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина (или Симпсона) называется "перемножением эпюр". Чтобы "перемножить эпюры", построим их. Сначала построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 4.23, а). Разобьем эпюру М на 6 простых фигур: три треугольника ω1 , ω2 и ω3 , два сегмента, ограниченных квадрат-

ной параболой, ω4 и ω5 и трапецию ω6 . Порядок разбивки эпюры

моментов на составляющие фигуры на втором участке поясняет рис. 4.249. Найдем площади этих фигур:

9 Эпюру М на втором участке можно разбить и на две фигуры: трапецию, у которой основания имеют разные знаки (10 и –25) и сегмент ω5 . В этом случае

удобно воспользоваться правилом перемножения трапеций (4.24).

б– от единичной обобщенной силы, соответствующей углу поворота сечения В;

в– от единичной обобщенной силы, соответствующей прогибу в точке

Для определения площадей ω4 и ω5 использована формула

(4.23). Затем строим эпюры моментов от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям. Чтобы определить угол поворота сечения В, приложим в точке В балки пару сил, равную единице, и построим эпюру изгибающих моментов М1 от этой пары сил (рис. 4.23, б). Найдем ординату под центром тяжести площади