Левченко 2 часть

где Aп = δ h = li – площадь прямоугольника ( δ =1, h = li ); a, b – координаты центра тяжести прямоугольника в системе координатных осей xc, yc; I xп0 , I пy0 – моменты инерции прямоугольника относитель-

но собственных центральных осей x0, y0, параллельных осям xc, yc. Если ось x0 (или y0) расположена вдоль рассматриваемого участка

центробежный момент инерции прямоугольника I xп0 y0 относительно

собственных осей x0, y0 равен нулю, так как эти оси являются главными осями инерции прямоугольника.

После определения величин лишних неизвестных по формулам (4.30) – (4.32) строим эпюры внутренних усилий в основной системе, как в обычной статически определимой раме. Эпюру изгибающих моментов можно проверить следующим образом. В упругом центре приложим найденные силы Х1 и Х2, нарисовав их в масштабе. Определим графически равнодействующую этих сил. Точки пересечения линии действия этой равнодействующей с осью рамы – это точки, в которых изгибающий момент должен равняться нулю (точки A, B, D

на рис. 4.46, б).

Построив эпюры внутренних усилий, проверим прочность конструкции, имея в виду, что поперечное сечение стержней рамы – труба и, кроме температурного воздействия, труба испытывает действие внутреннего давления. Максимальные нормальные напряжения σх, действующие на площадках, перпендикулярных оси трубы, находим, складывая напряжения от продольной силы и максимального изгибающего момента в опасном сечении рамы14:

14 При определении напряжений от изгиба на криволинейных участках трубы в местах сопряжения вертикальных и горизонтальных стержней рамы не

Для проверки прочности трубы из пластичного материала по формуле (4.37) находим максимальное по модулю напряжение. Если труба выполнена из хрупкого материала, при проверке прочности важен знак напряжений. Кольцевое напряжение σθ , возникающее от внутреннего давления q, определяем по формуле

где R и δ – соответственно внешний радиус и толщина трубы. Напряжение σθ всегда растягивающее. На рис 4.47, а показана эпюра распределения напряжений σх в опасном сечении при положительной продольной силе. Рис. 4.47, б изображает напряженное состояние опасных точек 1, 1′. Так как касательные напряжения на площадках элементов, показанных на рис. 4.47, б, отсутствуют, то эти площадки

Рис. 4.47. К определению напряжений в трубе:

а– распределение напряжений σх в опасном сечении;

б– напряженное состояние опасных точек

являются главными. Проверку прочности в опасных точках осуществляем по теории прочности, соответствующей материалу трубы.

учитываем эффект Кармана, связанный со сплющиванием поперечного сечения трубы и приводящий к уменьшению изгибных напряжений.

96

Полный центробежный момент инерции IxC yC = 2,625 м3. Длины трубопровода вдоль осей х и y: Lx = 3м, Ly = −1 + 2 =1м.

Подставляя найденные геометрические характеристики в формулы (4.30)–(4.32), сосчитаем значения лишних неизвестных:

X1 α∆TEI =1,58м–2;

X 2 α∆TEI =1,04 м–2;

X 3 α∆TEI =1,87 м–1.

Нарисуем основную систему и приложим в точке О найденные опорные реакции. Так как все лишние неизвестные оказались положительными, то сохраняем выбранное ранее направление всех неизвестных (рис. 4.49, а). Построим эпюры продольных сил и изгибающих моментов в долях от α∆TEI (рис. 4.49, б, в). На рис. 4.49, в показана равнодействующая сил Х1 и Х2, приложенных в упругом центре.

Рис. 4.49. Определение внутренних усилий в трубопроводе:

а– основная система с найденными реакциями в долях от α∆TЕI;

б– эпюра продольных сил N в долях от α∆TЕI;

в– эпюра изгибающих моментов М в долях от α∆TЕI

Видно, что на линии действия этой равнодействующей изгибающий момент равен нулю.

Теперь можно решать вопрос о проверке прочности трубы. По эпюрам N и М находим опасное сечение. У нас это сечение в точке О

97

(рис. 4.49, а). 15 В этом сечении действуют одновременно максималь-

вычисляем по формулам (4.37) и (4.38). Для удобства расчетов приведем формулу (4.37) к другому виду. Максимальное напряжение от изгиба

так как момент сопротивления W = IR . Нормальное напряжение, вызванное продольной силой, найдем так:

r – внутренний радиус трубы. Суммарные напряжения на площадках, перпендикулярных оси х, находим согласно (4.37), складывая σN и

σmaxM .

Отметим особенность решаемой задачи об определении температурных напряжений в статически неопределимой раме: чем больше размер поперечного сечения (больше радиус трубы), тем больше возникающие в конструкции температурные напряжения. Это связано с тем, что с увеличением радиуса увеличивается жесткость рамы и уменьшается свобода деформаций, что и приводит к увеличению напряжений.

Вычисляя напряжения в опасных точках, обратите внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы для напряжений.

В формуле для определения σmaxM число 1,87 имеет размерность м–1, в

формуле для σN число 1,04 измеряется в м–2. Таким образом, подставляя R в метрах, получим величину напряжения в тех же единицах измерения, что и модуль упругости Е. При проверке прочности в

15 В рассматриваемом примере опасным сечением может быть также сечение, в котором действуют усилия M =1,79α∆TEI и N = −1,58α∆TEI .

100

давала знак напряжений, ось z следует направлять в сторону от центра кривизны. Формула (4.39) показывает, что нормальные напряжения в поперечном сечении криволинейного стержня распределяются не по линейному закону, как в прямолинейном стержне, а по гиперболическому. Эпюра нормальных напряжений в криволинейном стержне при чистом изгибе показана на рис. 4.50.

Для определения величины z0 существуют разные пути. Будем

комендуем использовать точные формулы для простых форм сечений (прямоугольник, круг), полученные в [2, § 46]. Если поперечное сечение имеет более сложную формулу, то при определении величины z0 для стержней большой и

средней кривизны можно использовать либо приближенные формулы [2, § 46], либо таблицы, приведенные в [7, § 139]. Для стержней малой и средней кривизны допустимо использовать приближенную формулу

Если в сечении, кроме изгибающего момента, действует продольная сила, то в формулу (4.39) добавляется слагаемое N A. Каса-

тельные напряжения от поперечной силы в практических расчетах для криволинейных стержней обычно не учитывают.

Для определения перемещений точек оси криволинейных стержней большой кривизны используется метод Максвелла – Мора, согласно которому обобщенное перемещение δi находится по форму-

ле [2]