Левченко 2 часть

81

ризонтальная реакция НА в балках при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки всегда равна нулю – это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Для определения трех других опорных реакций RA, RB и RC составим три уравнения равновесия:

84

гнутой оси в точке Е, так как сечения, примыкающие к шарниру поворачиваются на разные углы. Если не удается построить изогнутую ось так, чтобы она удовлетворяла всем условиям, то следует искать ошибку. Эта проверка носит качественный характер и не всегда дает возможность найти ошибку в вычислениях. Проверкой, подтверждающей правильность вычисления лишней неизвестной, является условие (4.29), то есть результатом перемножения окончательной эпюры М с эпюрой изгибающих моментов от единичной обобщенной силы М1 (по правилу Верещагина) должен быть ноль. Делая эту проверку, мы еще раз проверяем равенство нулю прогиба в точке D в нашей задаче, поскольку смыслом этого перемножения является согласно методу Максвелла – Мора определение перемещения по направлению обобщенной силы (прогиба в точке D в решаемой задаче). Проверим решение нашей задачи:

4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы (задача № 24)

Условие задачи

В раме, показанной на рис. 4.40, требуется определить внутренние усилия и построить ось рамы после деформации. Жесткость всех стержней рамы одинакова и равна EI.

Решение

Рассматриваемая рама является один раз статически неопределимой и для выбора основной системы требуется отбросить одну лишнюю связь. Такой лишней связью будем считать шарнирно-

86

3 м

Рис. 4.43. Окончательные эпюры внутренних усилий

87

Горизонтальное перемещение точки В от лишней неизвестной Х

+6X 3+3X 6)] = 99EIX .

Подставим найденные перемещения в условие совместности деформаций и найдем значение лишней неизвестной:

−1260 +99 X = 0 , откуда X =12,72 кН.

88

4.4. РАСЧЕТ ПЛОСКОГО ТРУБОПРОВОДА НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ И ВНУТРЕННЕЕ ДАВЛЕНИЕ

Рекомендуемая литература

Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969. Гл. 21, 27.

Основные определения

Известно, что в статически неопределимых стержневых конструкциях возникают напряжения в результате температурного воздействия. Температурные напряжения особенно велики в стержне, защемленном по двум концам (см., например, решение задачи № 4 об определении температурных напряжений [5]). Для уменьшения температурных напряжений в такого рода конструкциях (например, в трубопроводах) используются температурные компенсаторы, которые увеличивают свободу деформаций за счет изгиба. Температурные компенсаторы представляют собой статически неопределимые рамы с двумя заделками по концам (рис. 4.45). В данном разделе рассматривается расчет плоских статически неопределимых рам (плоских тру-

а б

Рис. 4.45. Температурные компенсаторы

бопроводов) на температурное воздействие по методу упругого центра. Предполагается, что стержни рамы соединены между собой жестким образом под углом 90°, все стержни имеют одинаковую жесткость.

Рассматриваемые рамы являются три раза статически неопределимыми системами. Выберем основную систему для рамы, показанной на рис. 4.45, а, отбросив левую заделку (рис. 4.46). Лишними неизвестными являются реакции в защемлении: Х1, Х2 и Х3. В точке О

90

динат происходит по направлению оси y, а обход правой стойки – против направления оси.

Чтобы пояснить, что такое хс, yc, I xC , I yC и I xC yC , будем рассмат-

ривать раму как плоскую фигуру, состоящую из прямоугольников. Одна сторона каждого прямоугольника равна длине участка рамы, а другая сторона (толщина) всегда равна 1. Например, рама на рис. 4.46 считается плоской фигурой, состоящей из пяти прямоугольников с длинами соответственно l1, l2, l3 и 2 l4 и толщиной всех прямоугольников, равной 1. Тогда хс, yc – координаты центра тяжести этой плоской фигуры в системе координат xОy. Центр тяжести фигуры (точка С на рис. 4.46, б) называется упругим центром. Через упругий центр проведем центральные оси xc, yc, параллельные осям x, y. В формулах (4.30), (4.31) I xC , I yC и I xC yC – осевые и центробежный моменты

инерции рассматриваемой плоской фигуры относительно централь-

ных осей xc, yc.

Напомним некоторые формулы. Координаты центра тяжести плоской фигуры находим так:

где А – площадь фигуры. В данном случае, так как толщина всех прямоугольников равна единице, площадь равна сумме длин всех участков рамы. Для рамы на рис. 4.46 A = l1 + l2 + l3 + 2 l4 ; Sx, Sy – статические моменты фигуры относительно осей x, y, которые находятся как суммы статических моментов каждого прямоугольника относительно осей x, y. Статический момент каждого прямоугольника равен произведению площади прямоугольника на координату центра тяжести прямоугольника в системе координат хОy.

Моменты инерции плоской фигуры вычисляются как суммы моментов инерции простых фигур, составляющих данную фигуру, в рассматриваемом случае момент инерции всей фигуры равен сумме моментов инерций прямоугольников единичной толщины. Для каждого прямоугольника справедливы формулы