Математика, теория+расчетные 1 семестр
.pdfЗадача 10. Найти точки разрыва функции и исследовать их ха-
|
1 |
, x < 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рактер y= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
≥ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Функция не существует в точках x=±1. Рассмотрим одно- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
сторонние пределы: lim |
y = 0 , |
lim y = ∞ , так как y = 2 |
|
|
– |
функция |
||||||||||
x 2 −1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
→1−0 |
|
x →1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четная, то |
lim |
y = 0 , |
|
lim y = ∞, |
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
x →−1+0 |
|
|
|
x →−1−0 |
||||
|
|
|
|
|
|
а lim y = 2 , lim y = 2 13 |
≈ 1,26 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x →2+0 |
x →2 |
−0 |
|
в |
точках |
|||
|
|
1 |
|
|
|
Следовательно, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x=±1 – разрыв второго рода, а в |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
точке x=2 – разрыв первого рода. |
||||||||
−1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
lim 2 |
|
1 |
|
= 1 , сле- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная, |
что |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 15 |
|
|
|
дует построить схематически гра- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фик этой функции (рис. 15). |
V. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Теория
1. Производная функции, основные правила дифференцирования
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению ар- гумента, если он существует.
′ |
f (x + x ) − f (x ) |
. |
f (x ) = lim |
x |
|
x →0 |
|
Основные правила дифференцирования. Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
84
1)(u ± v)′= u′± v′;
2)(u v)′ = u v′ + u′v;
3)u ′ = u′v − v′u , если v ≠ 0.v v2
Производные основных элементарных функций.
1) |
С′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) (sin x )′ = cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
(xm)′ = mxm-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10) (cosx )′ = −sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) |
( |
x )′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) (tg x )′ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) (ctg x ) = − sin2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
(e x )′ =e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13) (arcsin x )′ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6) |
(ax )′ = ax lna |
|
|
|
|
|
|
|
14) (arccosx )′ = − |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7)(ln x ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) (arctgx ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8) |
(loga x )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
16) (arcctgx )′ = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x lna |
|
|
|
|
|
|
|
1 + x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пример. y |
|
|
x 2 + |
|
x |
|
′ |
|
(x 2 + x )′tgx − (x 2 + x )(tgx |
)′ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg |
2x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2x |
+ |
|
|
|
|
|
tgx − (x |
|
+ |
|
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная сложной функции
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функ- ции u входит в область определения функции f.
85
y ′ = f ′(u ) u′, т. е. сначала вычисляется производная функции f (u ) по переменной u , и затем она умножается на производную функции u(x ) по переменной x .
|
|
|
|
Пример. Найти производную функции y = lntg |
x − |
x |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
sin x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x − x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
y |
′ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
sin x − x cos x |
= |
||||||
= |
tg |
x |
|
cos |
2 x |
2 − |
sin2 x |
= |
2 sin |
x |
cos |
x − |
|
sin2 |
x |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= sin x −sin x + x cos x = x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Производная показательно-степенной и неявно заданной функ- ции
Определение. Функция называется показательной, если незави- симая переменная входит в показатель степени, и степенной, если пере- менная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно-степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим: lny = vlnu
|
y ′ |
|
|
′ |
|
u′ |
|
y =v |
lnu +v u |
||||
|
|
|||||
y ′ =u |
v |
|
u′ |
|
||
v |
u |
+v ′lnu |
||||
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти производную функции y = (arcsinx ) x +2 . Решение. Логарифмируем функцию y :
ln y = ( x + 2 )ln (arcsin x ).
Дифференцируем это равенство по x :
86
|
y ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [( |
x + 2 )ln (arcsin |
|
x )] |
|
= ( x |
|
+ 2 ) ln arcsin |
|
x |
+ ( x |
+ 2 )(ln(arcsi |
|
n x )) |
′ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
ln (arcsin |
|
|
|
x )+ ( |
x |
|
+ 2 )× |
(arcsin |
|
x )′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
ln(arcsin |
|
|
x ) + ( |
x + 2 ) × |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 x |
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
2 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 − x 2 arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(arcsin x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Получим: y ′ = (arcsin x ) |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная неявных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Если |
функция |
|
y = f (x ) |
такова, |
что |
|
|
подстановке ее |
в |
уравнение |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F (x , y )= 0 , последнее обращается в тождество, то говорят о неявном за- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дании функции y = f (x ). |
|
Пусть дифференцируемая функция y = f (x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задана уравнением F (x , y )= 0 . Тогда дифференцируем левую и правую |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
часть уравнения, считая y сложной функцией, и выражаем из уравне- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния y ′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример. Найти производную функции sin x |
|
|
+ x 3 |
= exy + y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
x |
+ x |
3 |
|
|
|
|
xy |
+ y |
2 |
′ |
|
|
|
|
|
x ′ |
|
|
|
|
|
3 |
′ |
(e |
xy ′ |
+ (y |
2 |
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
y |
|
|
= (e |
|
|
|
); |
|
sin |
y |
+ (x |
|
) = |
|
) |
|
). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
′ |
|
|
|
|
x |
|
|
′ |
− xy |
′ |
|
|
|
x |
|
|
y |
− xy |
′ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Так как sin |
y |
|
|
= |
cos |
y |
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
y |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(e xy )′ = e xy (y + xy ′), (x 3 )′ = 3x 2 , (y 2 )′ = 2yy ′, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
x y − xy |
′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
xy |
|
(y |
|
|
|
|
′)+ 2yy ′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
+ 3x |
|
|
=e |
|
|
|
+ xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
содержащие y ′, |
переносим в левую часть, а все осталь- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Слагаемые, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ное в правую: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
′ x |
|
|
cos |
|
|
+ xe |
+ 2y |
|
= |
|
cos |
+ |
|
3x |
− ye |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
|
|
1 |
cos x |
+ 3x 2 − ye xy |
||||
|
|
|
||||||
y ′ = |
|
y |
y |
|
|
|
. |
|
|
x |
cos x |
|
+ xe xy |
+ 2y |
|||
|
|
y 2 |
|
|||||
|
|
y |
|
|
|
3. Производные высших порядков. Производная параметрически заданной функции
Пусть функция f(x) дифференцируема на некотором интервале. То- гда, дифференцируя ее, получаем первую производную
y ′ = f ′(x ) = dfdx(x ) .
Если найти производную функции f′(x), получим вторую производ- ную функции f(x):
|
|
|
|
|
y |
′′ |
′′ |
d 2f (x ) |
, |
|
|
|
|
|
|
= f (x ) = |
dx 2 |
||
т.е. y′′ = (y′)′ или |
d 2 y |
|
|
d |
dy |
|
|
||
dx 2 |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx dx |
|
|
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные сте- пени n:
d |
n |
y |
|
|
d |
|
n |
−1 |
y |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
dx |
|
|
|
|
n −1 |
||||||
|
|
dx dx |
|
|
|
Общие правила нахождения высших производных Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то:
1)(Сu)(n) = Cu(n);
2)(u ± v)(n) = u(n) ± v(n);
3) (u v )(n ) =vu(n ) + nu(n −1)v ′ + n(n − ...1)u(n −2)v ′′ + + n(n −1)...[n −(k −1)]u(n −k )v (k ) +... |
|
2! |
k! |
... +uv (n ) .
Это выражение называется формулой Лейбница.
Пример. Найти d 2 y функции y = arcsine x . dx 2
88
Решение.
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x ′ |
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y ′ |
= dx = (arcsine |
|
) = |
|
|
|
|
(e |
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 −e 2x |
|
|
|
1 −e 2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
2 |
y |
|
dy |
′ |
|
|
e |
x |
|
|
|
′ |
|
|
(e |
x ′ |
|
2 x |
− e |
x |
( 1 − e |
2 x |
|
′ |
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
) 1 − e |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
|
dx |
|
1 − e |
2 x |
|
|
|
|
|
|
1 − e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ex 1 − e2 x + ex |
|
|
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 − e2 x |
= |
|
ex |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − e2 x |
|
|
(1 |
− e2 x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Дифференцирование функции, заданной параметрически. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Задание функции |
y = f (x ) |
через x = ϕ(t ), где t [t1;t2 ] − параметр, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ψ(t ) |
|||||||||||||||
называется параметрическим. |
|
|
|
Если функции x = ϕ(t ) , y = ψ(t ) имеют |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
производные ϕ (t )≠ 0 и |
ψ (t ), то функция y = f (x ) также имеет произ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
водную, вычисляемую по формуле |
|
|
ψ (t ) |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = y x′ = |
|
|
|
|
= |
|
t |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ′(t ) |
xt′ |
|||||||||||||||||||||||||
Вторая производная вычисляется по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
= y ′/ xx = |
(y x′ )t/ |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Пример. Функция y задана параметрически: x = cos4t , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 lnt |
||
0 <t < +∞. Найти y x |
и y xx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Найдем xt′ = ϕ′(t )= (cos 4t )′ |
= (−sin 4t ) 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt′ = ψ′(t )= |
(2 lnt )′ = |
|
2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Тогда по формуле |
y x′ = |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 4 sin 4t |
|
− 2t sin 4t |
89
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
1 |
|
/ |
1 |
|
(t sin 4t )/ |
|
|
|
Для вычисления y′′xx найдем (y x′ ) |
= |
|
|
|
= |
|
|
(t sin 4t )2 |
= |
|||||||||||||||
|
|
2t sin 4t |
|
||||||||||||||||||||||
|
(sin 4t +t 4 cos4t ) |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
− |
t |
2 |
|
|
||||||||||
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
t 2 sin2 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда, |
(y x′ |
)t/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d 2 y |
′ |
|
sin4t +4t cos4t |
|
|
|
|
|
sin 4t + 4t cos4t |
|
|
|
|
||||||||||||
dx 2 |
= y xx |
= |
xt′ |
= |
2t |
2 sin2 4t (−4 sin4t ) |
= − |
|
8t 2 sin3 4t |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференциал функции |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
y |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= f (x ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда можно записать: |
|
x = f |
|
|
|
+ α, где α→0, при |
|
х→0. |
|
|||||||||||||||
|
|
(x ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Следовательно: |
y = f |
′ |
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(x ) x + α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Величина αΔx − бесконечно малая более высокого порядка, чем |
||||||||||||||||||||||||
f′(x) |
x, т.е. f′(x) |
x – главная часть приращения у. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называет- |
||||||||||||||||||||||||
ся главная линейная часть приращения функции. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Обозначается dy или df(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Из определения следует, что dy = f′(x) |
x или dy = f′(x)dx. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Можно также записать: f (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для приближенного вычисления очевидно справедлива формула f (x 0+ x)= f(x0)+f ’(x0) x.
Пример. Вычислить приближенно с помощью дифференциала ln 0,97.
Решение. В данном случае x0=1, x= −0,03 и
ln(x+ x)=ln(x0)+(1/x0) x, и поэтому ln 0,97=ln1+(1/1)(−0,03).
Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ордина-
ты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
90
Свойства дифференциала
Если u = f(x) и v = g(x)− функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)′dx = u′dx ± v′dx = du ± dv; 2) d(uv) = (uv)′dx = (u′v + v′u)dx = vdu + udv; 3) d(Cu) = Cdu;
4) |
d |
u |
= |
vdu −udv |
. |
v |
v 2 |
По формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n-го порядка.
Уравнение касательной к нормали Угол между кривыми может быть определен как угол между каса-
тельными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: y − y 0 |
= f |
′ |
|
||||
(x 0 )(x − x 0 ) |
|||||||
Уравнение нормали к кривой: y − y 0 = − |
1 |
|
(x − x 0 ). |
||||
′ |
|
||||||
|
|
|
|
|
f (x 0 ) |
|
|
Пример. Составите уравнение касательной и нормали к кривой |
|||||||
f (x )= −x 2 − 4x в точке x 0 |
= −1 . |
|
|
|
|||
Решение. f (− 1)= −(− 1)2 − 4(− 1)= −1 + 4 = 3 |
|
|
|||||
′ |
|
′ |
|
|
|
||
f (x )= −2x −4 , |
f (− 1)= −2(− 1)− 4 = 2 − 4 = −2 . |
||||||
Уравнение касательной: |
y − 3 = −2(x + 1) |
y = −2x + 1. |
|||||
Уравнение нормали: |
y − 3 = |
1 |
(x +1); |
y = 0,5x + 3,5 . |
|||
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
5.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Кразряду неопределенностей, как указывалось ранее, относятся следующие соотношения:
00 ; ∞∞; ∞ 0; ∞0 ; 1∞; ∞ − ∞.
91
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) диффе- ренцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g′(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х→а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
lim f (x ) |
= lim f |
′ |
|||
(x ) . |
|||||
|
g (x ) |
|
|
′ |
|
x →a |
x →a |
g (x ) |
|||
|
|
|
|
||
Пример: Найти предел lim |
x 2 −1 + ln x |
. |
|||
|
|||||
x →1 |
e x −e |
|
|
При попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида 00 . Функции, входящие в числитель и знамена-
тель дроби, удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2x + |
1 |
|
|
|
2 +1 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f′(x) = 2x + |
|
; |
g′(x) = ex; |
|
lim f |
|
(x ) |
= |
|
|
|
= |
= |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти lim |
e x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x →+∞ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Применяем |
|||||||||
|
Здесь имеет место неопределенность |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(e x |
)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e x )′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
e x |
|
|
∞ |
= lim |
|
lim |
e x |
|
|
∞ |
= lim |
|
|
|
= lim |
e x |
= ∞. |
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x →+∞ x 2 |
|
|
∞ |
x →+∞ (x 2 )′ |
|
x →+∞ 2x |
|
∞ |
x →+∞ (2x )′ |
|
|
|
x →+∞ |
2 |
|
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то пра- вило Лопиталя может быть применено повторно. Естественно, это воз- можно только в том случае, если вновь полученные функции в свою оче- редь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из спо- собов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с пра- вилом Лопиталя может быть использован и один из разобранных выше методов (замена переменных, домножение и др.).
92
Неопределенности вида 00 ; 1∞; ∞0 можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахожде- нии пределов функций вида y = [f (x )]g (x ) , f(x)>0 вблизи точки а при
х→а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
|
Пример. Найти предел lim x x . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь y = xx, lny = xlnx. |
|
|
|
x >0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
правило |
|
|
|
|
|
|
||
lim ln y = limx ln x = lim ln x |
= |
|
= lim |
1/ x |
= −lim x = 0 |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||
− 1/ x 2 |
|||||||||||||
x →0 |
x →0 |
x →0 |
1 |
|
|
Лопиталя |
x →0 |
x →0 |
|
||||
x >0 |
x >0 |
x >0 |
|
|
|
|
|
x >0 |
|
|
x >0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно lim ln y = ln lim y = 0; lim y = lim x x = 1. |
|
||||||||||||
|
|
x →0 |
|
|
x →0 |
|
x →0 |
x |
→0 |
|
|
||
|
|
x >0 |
|
|
x >0 |
|
|
x >0 |
x |
>0 |
|
|
6. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций
Теорема. 1. Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотри- цательна, т.е. f′(x) ≥ 0.
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференци- руема на промежутке (а, b), причем f′(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убы- вает на отрезке [a, b], то f′(x)≤0 на этом отрезке. Если f′(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) не- прерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее
значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интер- вала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 + x) > f(x2) при любом х ( х может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь мак- симум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и
93