Математика, теория+расчетные 1 семестр

Определение. Оператор A, действующий из линейного простран- ства L в линейное пространство M называется линейным оператором, ес- ли для любых u,v из L и для любого действительного числа α справедли-

во:

A(u + v)= A(u)+ A(v)и A(αu)= αA(u).

Определение. Линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L (действующий в L) называют

линейным преобразованием пространства L.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, оп- ределенный в Rn на D(A)I D(B) и действующий следующим образом:

(A +B)x = Ax +Bx .

Определение. Произведением оператора A на число α называется оператор, определенный в Rn на D(A)и действующий следующим обра-

зом: (αA)x = α(Ax).

Определение. Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства L, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): Ker(A) = {x : A(x)= 0, x L}.

Теорема. Ядро Ker(A) и образ Im(A) линейного оператора A – ли- нейные подпространства пространства Rn.

Определение. Размерность образа линейного оператора называет-

ся рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется

дефектом оператора, обозначается def(A): r=def(A)=dimKer(A).

Для линейного оператора, действующего в пространстве Rn, спра- ведливы следующие утверждения:

Теорема:

1) ранг оператора равен рангу его матрицы; 2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной одно-

родной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная сис- тема решений образует базис в ядре оператора;

3) столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Пусть A – линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве L, A(x) = y, x = (x1 , x2 ,..., , xn ) L, y = (y1 , y2 ,..., yn ) L .

54

Формула y = Ax связывает вектор-столбец x координат образа с вектором-столбцом y координат прообраза.

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов некоторого базиса в L

– называется матрицей линейного оператора A в данном базисе.

Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в про- странстве L определен некоторый базис, x и y – векторы (столбцы) из L

и y = A(x), то векторы-столбцы их координат в этом базисе связаны соот- ношением y = Ax , где A – матрица оператора A в этом же базисе.

Между множеством линейных операторов, действующих в n-мерном линейном пространстве L, и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.

Теорема. Пусть e={e1 , e2 ,...,en }и f ={ f 1 , f 2 , ..., f n } – два базиса в L.

Af = Ce−→1 f Ae Ce→ f

Примеры.

1. Матрица тождественного (единичного) оператора: поскольку Ι(x) = x , то

Ι(ei ) = ei = (0, 0,..., 0,1, 0,..., 0), i =1, n (единица на i-м месте), и, следовательно,

матрица тождественного оператора – единичная матрица.

2. Матрица оператора Uϕ поворота пространства R2 на угол φ относи- тельно начала координат против часовой стрелки.

Поскольку Uϕ(i ) = (cosϕ, sin ϕ), Uϕ( j ) = (− sin ϕ, cosϕ), то матрица U

оператора поворота имеет вид:

55

10. Собственные значения и собственные векторы линейного опера- тора

Определение. Число λ называется собственным значением ли- нейного оператора А, если оно является корнем характеристического уравнения det( A −λI )= 0.

Определение. Ненулевой вектор x из L –называется собственным вектором линейного оператора A, соответствующим собственному значе- нию λ, если он является решением системы ( A −λI ) x = 0.

Примеры.

λ = 0 и λ =1– собственные значения оператора.

Найдем соответствующие собственные векторы.

Пусть λ = 0 , тогда соответствующие собственные векторы – ненуле- вые решения системы (P − λE )x = 0, λ = 0, т.е.

56

0

e1 = 0 – собственный вектор оператора, отвечающий собственному зна-

1

ственными векторами оператора, отвечающими собственному значению

ные векторы оператора, отвечающие собственному значению λ = 1.

Для собственных значений и собственных векторов линейного опе- ратора справедливы следующие утверждения:

1)характеристический многочлен оператора, действующего в Ln явля- ется многочленом n -й степени относительно λ;

2)линейный оператор, действующий в Ln, имеет не более n различных собственных значений;

3)корни характеристического многочлена не зависят от базиса;

4)собственные векторы, отвечающие различным собственным значе- ниям, линейно независимы.

57

Определение. Базис, составленный из собственных векторов ли-

нейного оператора, называют собственным базисом оператора.

Теорема. Матрица оператора в собственном базисе – диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.

11. Квадратичные формы

Определение. Если любым x и y из линейного пространства L поставлено в соответствие единственное действительное число B(x, y)так, что для любых x, y и z и любого действительного числа α справедливо:

B(x+ y, z)= B(x, z)+ B(y, z), B(α x, y)= αB(x, y),

B(x, y + z)= B(x, y)+ B(x, z), B(x,αy)= αB(x, y),

то говорят, что в пространстве L определена билинейная форма B(x, y). Простейший пример билинейной формы – скалярное произведение. Определение. Если для билинейной формы B(x, y) при любых x и

y из L справедливо: B(x, y)= B(y, x), то билинейная форма называется

симметрической.

Матрица симметрической билинейной формы – симметричная мат- рица.

Определение. Если B(x, y)– симметрическая билинейная форма,

то форма A(x, x)= B(x, x) называется квадратичной формой.

Проверим:

58

мерном линейном пространстве Ln, то в этом линейном пространстве су- ществует базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов.

Определение. Если квадратичная форма A(x, x) в некотором ба-

n

зисе имеет вид A(x, x) = ∑ai xi 2 , то говорят, что она записана в этом базисе

i=1

в канонической форме.

Теорема. (Закон инерции квадратичных форм.) Если квадра- тичная форма A(x, x) приводится к сумме квадратов в двух различных

базисах, то число членов с положительными коэффициентами и число членов с отрицательными коэффициентами в обоих случаях одни и те же.

Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Теорема. Существует ортогональное преобразование n-мерного

евклидова пространства, приводящее квадратичную форму к канониче- скому виду.

Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду

состоит в следующем (метод ортогональных преобразований):

-находим собственные значения матрицы квадратичной формы и запи- сываем её канонический вид в виде суммы квадратов, коэффициента- ми при которых являются собственные значения матрицы;

-если нужно указать вид преобразования, то находим собственные век- торы матрицы, нормируем их, и записываем матрицу перехода от ис- ходного ортонормированного базиса к базису, составленному из най- денных собственных векторов.

59

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

− λ3 + 4λ2 − 3λ= 0,λ1 = 0,λ2 = 1,λ3 = 3.

Можно записать канонический вид квадратичной формы:

A(x, x) = A' ( y, y) = y2 2 + y3 2 .

Найдем преобразование, приводящее квадратичную форму к кано- ническому виду.

Для этого найдем собственные векторы матрицы квадратичной формы, отвечающие вычисленным собственным значениям:

60