Математика, теория+расчетные 1 семестр

довательности x n →∞), а также бесконечный предел в точке x 0 (через последовательности значенийf (x n ) → ∞).

Таким образом, возможны следующие варианты:

1)конечный предел в конечной точке: например, limx →2 (x + 2) = 4 ;

2)бесконечный предел в конечной точке: например, limx →0 x1 = ∞;

limx →∞(x + 2) = ∞.

В соответствующих случаях вместо знака ∞ может фигурировать +∞ или -∞.

Поскольку определение предела функции дано на языке последо- вательностей, арифметические свойства предела последовательности пе- реходят «по наследству» к пределу функции.

Утверждение. Пусть функции f(x) и g(x) имеют конечные (или бесконечные) пределы в точке: limx →x0 f (x ) = A limx →x0 g (x ) = B

1)limx →x0 [f (x ) ± g (x )] = limx →x0 f (x ) ± limx →x0 g (x );

2)limx →x0 [f (x ) g (x )] = limx →x0 f (x ) limx →x0 g (x );

Как и в случае последовательностей, благодаря арифметическим свойствам расширяются наши возможности при вычислении пределов функции. Все свойства предела последовательности «наследуются» пре- делом функции при xn →∞.

Например, «наследуются» свойства предела рациональной дроби.

– бесконечности, если степень числителя больше степени знамена-

ния допустимы, так как при вычислении предела предполагается, что

Если в определении предела функции оставить только последова- тельности, стремящиеся к x0 справа, мы получим определение предела справа

Определение. Число А называют пределом справа (или правым пределом) функции f(x) в точке x0, если:

1) функция определена в некоторой правой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки;

75

2) для любой последовательностиx n → x 0 + 0 ( x n ≠ x 0 при всех n) последовательность значений y n = f (x n ) сходится к А. Записывают

limx →x0 +0 f (x n ) = A .

Аналогично определяется предел слева (или левый предел). Для этого вводится понятие последовательности, сходящейся к x0 слева. Ле- вый предел обозначают: limx →x0 −0 f (x n ) = A .

Утверждение. Для того чтобы функция f(x) имела предел в конеч- ной точке x0, необходимо и достаточно, чтобы существовали правый и ле- вый пределы f (x) в этой точке и были равны между собой:

limx →x0 +0 f (x n ) = limx →x0 −0 f (x n ) = limx →x0 f (x n ) = A

4. Непрерывность функции

Определение. Если существует limx →x0 f (x ) = f (x 0 ) , то говорят,

что f(x) непрерывна в точке x0.

Или lim x →0 f (x 0 ) = 0 , где x ≡ x − x 0 − приращение аргумента,

f (x 0 ) ≡ f (x ) −f (x 0 ) – приращение f(x) в точке x0.

То есть f (x ) – непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение f(x) в точке x0.

Таким образом, для непрерывности должны выполняться три усло-

вия:

1) f (x0 ),

2) limx →x 0 f (x0 ),

3) limx →x 0 f (x ) = f (x0 ).

Точки разрыва и их типы (классификация).

Если в некоторой точкеx = x0 нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то точка x = x0 называется точкой разрыва f(x).

нечны, равны между собой, но не равны f (x0 ) (или f (x0 ) не определена)

тогда т. x0 называется точкой разрыва 1-го рода устранимого разрыва,

76

то т. x0 называется точкой разрыва 1-го рода неустранимого разрыва, а

или бесконечно большой ( +∞,−∞, ∞), то точка x0 называется точкой раз-

чем. Это означает, что точка x=1 − точка разрыва 1-го рода неустранимо-

Так как f (−0) = −∞, то x=0 – точка разрыва 2-го рода бесконечного разрыва.

Расчетные задания

Задача 8. Вычислить предел и доказать его существование по оп- ределению (найти δ(ε)).

77

Задача 9. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя-Бернулли.

79