Математика, теория+расчетные 1 семестр

Теорема. Пусть произвольная матрица А приведена к треугольно- му виду А′ с помощью элементарных преобразований, тогда det А=(−1)рdetA′, где p – число перестановок строк (элементарных преоб- разований третьего вида).

3. Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица A называется обратимой, если существует квадратная матрица X той же размерности, удовлетворяю-

Относительно обратной матрицы справедливы равенства: det A−1 = (det A)−1 ;

( А−1)−1 = А;

(Ае)−1 = е−1 А−1 ;

(АТ )−1 = (А−1 )Т .

Алгоритм построения обратной матрицы с помощью опре- делителя.

1.Проверить, что матрица А невырожденная, т.е. det А≠0.

2.Найти алгебраические дополнения элементов аi j матрицы А и

составить из них матрицу ( Аij ).

3.Транспонировать матрицу ( Аij ).

4.Составить обратную матрицу А−1= det1 A ( Аji ).

Решение. Следуя алгоритму построения обратной матрицы, имеем det А=2≠0;

14

Проверим правильность построения обратной матрицы: умножим

Построение обратной матрицы элементарными преобразо- ваниями

Теорема. Если элементарными преобразованиями строк (только строк) невырожденную матрицу А порядка n привести к единичной мат- рице Е, то произведение матриц Sk (k=1,2,…, p), соответствующих этим

Поэтому построение обратной матрицы А−1 будем вести по следую- щей схеме:

Запишем матрицу (А,Е) размерности (n×2n)

Элементарными преобразованиями строк (только строк) приводим первую половину матрицы (А,Е) к единичной. Так как над второй поло- виной матрицы (А,Е) проводятся те же элементарные преобразования, то на ее месте будет построена матрица А−1 обратная к А.

Пример. Найти обратную матрицу А−1 для матрицы А, где

15

Решение. Запишем матрицу (А,Е):

Элементарными преобразованиями строк приводим первую ее часть к единичной матрице:

1. Вычтем из 3-й строки первую строку, умноженную на 3

2. Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 3, затем приба- вим к третьей строке вторую строку, умноженную на 7

3. Вычтем из первой строки третью, умноженную на 6, а затем при- бавим ко второй строке третью строку, умноженную на 2

4. Умножим третью строку на −1

Таким образом получим обратную матрицу А−1, равную

16

4. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений. Правило Крамера Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

α1, α2, …αn соответственно, каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

17

Определение. Система линейных уравнений, не имеющая ни од- ного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

решением матричного уравнения, то ее элементы x1, x2 ,..., xn являются решением рассмотренной системы.

an1 an2 ... ann

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется опреде-

лителем системы.

Рассмотрим матричное уравнение A·X = B. Если матрица A обратима, то

A−1( A X )= A−1 B, A−1(A X ) =(A−1 A) X =E X =X , X =A−1 B , т.е.

получили выражение для решения системы линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

Для решения системы n линейных алгебраических уравнений отно- сительно n неизвестных справедлива теорема, которую называют прави-

лом Крамера.

Теорема. Если определитель квадратной системы отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам

x1 = 1 , x2 = 2 , ..., xn = n ,

18

где k – определитель, получаемый из определителя заменой k -го столбца на столбец свободных членов.

5. Ранг матрицы. Совместность системы линейных уравнений

Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу A . Выберем некоторые s номеров строк i1,i2 ,..., is и s номеров столбцов

j1, j2 ,..., js .

Определение. Минором порядка s матрицы A (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка s, об- разованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

j1, j2 ,..., js .

Определение. В матрице A размеров m ×n минор порядка s на- зывается базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка s +1 равны нулю или миноров порядка s +1 вообще нет, т.е. s совпадает с меньшим из чисел m или n .

Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы A будем обозначать символом

ранга следует, что для матрицы A размеров m ×n справедливо соотно-

шение 0 ≤ r( A) ≤ min(m, n) .

Пример. Вычислить ранг матрицы А можно методом окаймляю-

щих миноров.

19

Пусть в матрице найден минор M k -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k +1) -го порядка, которые содержат в себе

(окаймляют) минор M : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненуле- вой минор (k +1) -го порядка, и вся процедура повторяется.

Применяя описанный метод к матрице A, найдем r(A) = 2 .

Существует более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матри-

цы.

Для нахождения ранга матрицы A следует с помощью элементар- ных преобразований привести ее к ступенчатому виду B . Тогда ранг матрицы A будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице

B .

Критерий совместности системы линейных уравнений. Рассмотрим произвольную систему m линейных уравнений с n неиз- вестными, которую запишем, как и раньше, в матричной форме:

A x =b ,

Матрицу A называют матрицей системы, а матрицу, полученную

из матрицы A добавлением столбца свободных членов b , – расширенной матрицей системы. Обозначим расширенную матрицу системы символом

( A | b) :

20

r(A | b) ≥ r(A).

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы r(A | b) = r( A).

Если b1 =b2 =... = bm = 0 , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Однородная система всегда совместна. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Теорема. Для нетривиальной совместности однородной системы из n уравнений с n неизвестными необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

6. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвест- ных) решения систем линейных уравнений

Под элементарными преобразованиями системы линейных уравне- ний понимаются следующие операции:

21

1)умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от ну- ля;

2)прибавление к одному уравнению другого уравнения;

3)перемена местами уравнений в системе.

Определение. Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение од- ной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

Теорема. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью эле- ментарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Теорема. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют Гауссовым исключением.

Рассмотрим расширенную матрицу системы, причем det A ≠ 0,

1-й шаг

Предположим, что a11 ≠ 0.

Если это не так, и a11 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a11≠ 0. Это всегда возможно, т.к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна.

Элемент a11 ≠ 0 называется ведущим элементом. Итак, a11 ≠ 0.

Умножим первую строку на число − a21 и прибавим ко второй стро-

a11

ке, затем умножим первую строку на число − a31 и прибавим к третьей

a11

строке, и т.д., Получим на первом шаге:

22

2-й шаг

Предположим, что a(1)22 ≠ 0.

Если это не так, и a(1)22 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы

a(1)22 ≠ 0.

k-й шаг

Предположим, что a(k−1)kk≠ 0.

Если это не так, и a(k−1)kk = 0, переставим строки матрицы так, чтобы

a(k−1)kk ≠ 0.

Ведущий элемент a(k−1)kk≠ 0.

23