теорет.механика
.pdf= |
m1 + m2 |
Rɺ |
2 |
+ |
m1m2 |
|
|
rɺ |
2 |
(9) |
2 |
|
2(m + m |
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Сонымен:
T = |
m + m |
|
|
+ |
m m |
|
|
|
(10) |
2 |
R |
2(m + m ) rɺ |
2 |
||||||
|
1 |
2 ɺ |
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Есептің шарты бойынша нүктелерге сыртқы күштер əсер етпегендіктен потенциалдық энергия олардың арақашықтығына ғана байланысты:
|
|
|
U = U (r ) |
|
|
|
|
|
(11) |
||
Сонымен Лагранж функциясы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m1 + m2 |
|
2 |
|
m1m2 |
|
|
|
2 |
|
|
L = |
|
Rɺ |
|
+ |
|
|
rɺ |
|
−U (r ) |
(12) |
|
2 |
|
2(m + m |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
(12)-дифференциалдап, координата центріне арналған Лагранж теңдеуін жазамыз:
|
|
|
∂L |
= (m + m )Rɺ |
(13) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂Rɺ |
1 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
= 0 |
|
(14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Rɺ |
|
|
|
|
|||
Лагранж теңдеуінен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∂L |
− |
d |
|
∂L |
= 0 |
(15) |
|||||
|
|
|
|
|
dt ∂Rɺ |
||||||||||
|
|
|
|
∂R |
|
|
|
|
|||||||
ɺɺ |
= 0 |
болғандықтан, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
жəне R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||||||
|
|
|
|
Rɺ |
= Rɺ |
t + R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||
Сонымен, инерция центрі бастапқы санақ жүйесіне қатысты бір қалыпты түзу сызықты қозғалады. Бұл жүйені инерциалды деп аламыз. Себебі осындай жүйелерде екі нүктенің өзара əсерлесу күші тек потенциалдық энергияға ғана тəуелді. Егер екі дененің инерция центрі бекітілген санақ жүйесіне көшсек, тек радиус вектор r -ға тəуелді қозғалыс қана қалады:
41
|
R = 0 |
|
(17) |
||
L = |
m1m2 |
|
rɺ2 − U (r ) |
(18) |
|
2(m1 + m2 ) |
|||||
ц.и. |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Массалары m1 жəне m2 екі дененің қозғалысы есебін массасы
m = |
m1m2 |
(19) |
||
m1 |
+ m2 |
|||
|
|
|||
бір дене есебіне алмастыруға болады. (19)- келтірілген масса деп аталады. Егер R = 0 деп, инерция центрін қозғалмайтын жəне тыныштықтағы
координатаның бастапқы нүктесіне қойсақ:
|
= |
m2 r |
(20) |
||
r1 |
|
||||
m1 + m2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
= |
m r |
|
(21) |
|
r2 |
1 |
|
|||
m1 + m2 |
|
||||
|
|
|
|
||
болады. |
|
|
|
|
|
Сонымен, m1 << m2 болса, r1 << r2 |
болады да, инерция центрі массасы үлкен |
||||
денеге жақын болады. |
|
|
|
|
|
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Инерция центрі радиус векторы өрнегі.
2.Келтірілген масса.
3.Жалпылама импульс.
4.Жалпылама күш.
5.Инерция центрі санақ жүйесі.
42
III ҚОЗҒАЛЫС ТЕҢДЕУЛЕРІН ИНТЕГРАЛДАУ
10 Бір өлшемді қозғалыс
Еркіндік дəрежесі бірге тең жүйенің қозғалысын бірөлшемді қозғалыс деп атайды. Осындай жүйенің Лагранж функциясының жалпы түрі:
L = |
1 |
a(q)q 2 − U (q) |
(1) |
|
|||
2 |
|
|
|
мұндағы a(q)- жалпылама координата q функциясы. Мысалы q - декарттық координата болса q = x ,
L = |
mxɺ2 |
− U (x). |
(2) |
|
|||
2 |
|
|
|
Осы Лагранж функциясына сəйкес қозғалыс теңдеулері жалпы түрде интегралданады. Тіпті бұл жағдайда қозғалыс теңдеулерін жазбай-ақ, энергияның сақталу заңын сипаттайтын теңдеудің бірінші интегралын жазуға болады:
|
|
|
|
mxɺ2 |
|
|
+ U (x) = E . |
(3) |
|||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Бұл айнымалыларды айыру тəсілімен интегралданатын бірінші ретті |
|||||||||||||||
дифференциалдық теңдеу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
2 |
(E − U (x)) . |
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
m |
|
||||||||||
Осыдан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m |
|
|
|
dx |
|
|||||||
t = |
|
|
|
|
∫ |
|
|
+ const . |
(5) |
||||||
|
|
2 |
|
|
E − U (x) |
||||||||||
Осындай қозғалыс теңдеуін шешкенде екі кез келген айнымалының ролін жүйенің толық энергиясы жəне интеграл тұрақтысы const атқарып тұр. Мұндағы кинетикалық энергия оң шама болғандықтан, қозғалыс кезінде толық энергия барлық уақытта потенциалдық энергиядан артық болады. Қозғалыс кеңістіктің U (x) < E болатын аймағында ғана болады.
43
7 – сурет
U (x) тəуелділігі 7 – суретте берілген. Горизонталь түзу сызық толық энергияның мəнін көрсетеді. Мүмкін болатын қозғалыс аймақтарын көрсететін болсақ, ол тек АВ аймағы жəне С аймағының оң жағы.
U (x) = E . |
(6) |
Потенциалдық энергиясы толық энергияға тең болатын нүктелер қозғалыс шекарасын көрсетеді. Ол нүктелер аялдау н ктелері деп аталады. Себебі бұл нүктелерде қозғалы жылдамдығы нөлге тең болады. Егер қозғалыс аймағы екі нүктемен шектелген болса, онда берілген кеңістіктегі қозғалыс шектелген болады да финитті қозғалыс деп аталады. Егер қозғалыс аймағы шектелмеген немесе бір жағынан ғана шектелген болса, ол инфинитті қозғалыс болады да, бөлшек шексіздікке кетіп қалады.
Бір өлшемді финитті қозғалыс тербелмелі қозғалыс болып табылады. Бөлшек екі жақты шекараның арасында периодты қайталанатын қозғалыста болады, яғни 7-суретті алатын болсақ бөлшек x1 жəне x2 нүктелерінің арасында АВпотенциалды шұңқырда тербелмелі қозғалыста болады.
Нүктенің x1 нүктесінен x2 нүктесіне барып, кері қайтатын уақыты -
тербеліс периоды Т-ға тең. Ол |
x1 x2 |
кесіндісін жүріп өткен |
уақытты екі |
||||||
еселегенге тең жəне (3) ескере отырып: |
|
|
|
|
|
|
|||
T (E ) = |
|
x2 |
(E ) |
dx |
|
||||
2m ∫ |
|
(7) |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
E − U (x) |
|||||||||
|
|
x1 (E ) |
|
||||||
x1 жəне x2 шектері (4) теңдеудің түбірі болады.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Бір өлшемді қозғалыс анықтамасы.
2.Финитті қозғалыс.
3.Инфинитті қозғалыс.
4.Аялдау нүктелері дегеніміз не?
5.Тербелмелі қозғалыс.
44
11 Орталық өрістегі қозғалыс. Аудандар заңы
Сонымен, екі дене есебін бір дене есебіне келтіруге болатынын көрсеттік жəне материалдық бөлшектің қозғалысы кейде сыртқы өрістің əсерінен де болатынын айттық. Егер материалдық бөлшектің потенциалдық энергиясы тек оның қандай да бір қозғалмайтын нүктеге дейінгі арақашықтығы r ға ғана тəуелді болса, ол өріс орталық өріс деп аталады.
|
= − |
∂U (r ) |
= − |
dU r |
|
|||
F |
|
|
|
|
. |
(1) |
||
|
|
|||||||
|
|
∂r |
|
dr r |
|
|||
Бөлшекке əсер етуші күш F |
– абсолют мəні бойынша тек r |
-ға ғана |
||||||
тəуелді (арақашықтыққа), бағыты бойынша, əрбір нүктеге радиус вектордың бойымен бағытталған.
Бұрынырақ айтылғандай, орталық өрісте қозғалатын бөлшек үшін жүйенің өріс центріне қатысты моменті сақталады:
M = [rP]. |
(2) |
M жəне r векторлары өзара перпендикуляр болғандықтан, M сақталған |
|
жағдайда, бөлшектің радиус векторы үнемі |
M -ға перпендикуляр бір |
жазықтықта болады. |
|
Сонымен бөлшектің орталық өрістегі қозғалыс траекториясы түгел бір жазықтықта болады. Онда полярлық координата жүйесін енгізіп Лагранж функциясын жазамыз:
L = |
m |
(rɺ2 + r 2ϕɺ2 )− U (r ). |
(3) |
|
|||
2 |
|
|
|
Бұл функцияда ϕ -кординатасының айқын түрі жоқ. Егер Лагранж функциясына жалпылама координата qi -дің қандай да бір түрі енбесе, оны циклдік координата деп атайды:
d |
|
∂L |
= |
∂L |
= 0 . |
(4) |
||
|
|
|
||||||
dt ∂qɺ |
i |
∂q |
i |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Осыған байланысты жалпылама координатаға сəйкес импульс P = |
∂L |
|
∂qɺ |
|
|
i |
i |
|
|
|
|
қозғалыс интегралы болып табылады. Осы жағдай циклдік координаталардың көмегімен қозғалыс теңдеуін интегралдауды оңайлатады. qi = ϕ болса, жалпылама импульс:
45
Pϕ = mr 2ϕɺ = M , |
(5) |
яғни өткен параграфта айтылғандай, импульс моментімен сəйкес болады да, белгілі моменттің сақталу заңын береді:
2 ɺ |
(6) |
M = mr ϕ = const. |
8 – сурет
dS = 1 r × rdϕ шексіз аз радиус вектор мен сектордың доғасының жасайтын
2
ауданы. Осы өрнекті dt -ға бөліп, секторлық жылдамдықты алуға болады:
f = |
dS |
= |
1 |
|
|
dϕ |
= |
r 2 |
(7) |
|
|
|
(r |
× r ) |
|
|
ϕ . |
||||
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
dt |
|
2 |
|
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Осыны моменттің өрнегіне қойсақ:
M = 2mfɺ . |
(8) |
Сондықтан осы моменттің сақталуы – секторлық жылдамдықтың сақталуын қамтамасыз етеді. Яғни, қозғалыстағы радиус вектор бірдей уақыт аралықтарында бірдей аудандарды сызады. Бұл Кеплерді екінші за ы деп аталады.
Орталық өрісте қозғалатын бөлшектің моментінің сақталуын кейде аудандар интегралы деп те атайды.
Сонымен орталық өрісте қозғалатын бөлшектің қозғалыс есебін толық шешу үшін энергия мен моменттің сақталу заңын пайдаланамыз. Яғни қозғалыс теңдеуін жазбаса да болады:
Е = |
m |
(r |
+ r ϕ |
)+ U (r ) |
|
(9) |
|||
|
2 |
|
ɺ2 |
ɺ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ɺ |
|
|
ɺ |
|
M |
|
|
|
|
|
|
= mr 2 |
, |
(10) |
||||
M = mr ϕ |
өрнегінен ϕ |
||||||||
46
осыны қолданып:
|
|
Е = |
mrɺ2 |
|
+ |
M 2 |
|
|
+ U (r ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2mr 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
rɺ = |
|
|
|
|
2(E − U (r )) |
− |
M 2 |
|
= |
dr |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
m2 r 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||
Бұл өрнекті интегралдасақ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
+ const |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
[E − U (r )]− |
M 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m2 r 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Моменттің теңдеуі арқылы:
= 2ϕ ϕ = Mdt M mr ɺ, d
mr 2
полярлық бұрышқа қатысты теңдеуді аламыз:
dϕ = |
M |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|||
mr |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
[E −U (r )]− |
|
|
M |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m2 r 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
dr |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
+ const |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2m[E − U (r )]− |
M 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(13) жəне (15) есепті жалпы түрде шешеді. (15) – r жəне ϕ арасындағы байланысты көрсетеді, яғни траекторияның теңдеуі. Ал (13) қозғалыстағы нүктенің центрге дейінгі қашықтығын уақыттың функциясы ретінде береді. ϕ бұрышы уақытқа тəуелді монотонды түрде өзгереді, ал ϕɺ – таңбасын ешқашан өзгертпейді. (11) теңдеуде қозғалыстың радиалды бөлігін «эффективті» потенциалдық энергиясы бар өрістегі бір өлшемді қозғалыс ретінде қарастыруға болады.
U |
|
= U (r ) + |
M 2 |
|
(16) |
|
эфф |
2mr |
2 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
47
M 2 |
|
|||
|
– шамасы кейде центрге тартқыш энергия деп аталады. |
|
||
2mr 2 |
|
|||
|
E = U (r ) + |
M 2 |
|
(17) |
|
2mr 2 |
|||
|
|
|
||
центрден r - қашықтықтағы қозғалыс шекарасын анықтайды.
(17) орындалса rɺ = 0 – r(t ) функциясының өсуінен кемуіне траекторияның «бұрылу нүктесін» көрсетеді.
Егер r -радиус вектордың өзгеруі тек r ³ rmin шектелсе, бөлшектің қозғалысы инфинитті болып, траекториясы шексіздіктен келіп шексіздікке кетеді.
Егер r өзгеру аймағының rmin жəне rmax екі шектелу нүктесі болса, бөлшектің қозғалысы финитті болып, траектория радиустары r = rmax жəне r = rmin тең болатын дөңгелектің ішінде жатады. Яғни траектория тұйықталған қисық болып табылады. r – радиус векторы rmax -нан rmin -ге дейін жəне қайтадан rmax -ге өзгеретін уақыт аралығында ол ϕ бұрышқа ығысады.
r |
M |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
max |
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ = 2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
(18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
rmin 2m[E − U (r )]− |
M 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
r 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Траекторияның тұйықталу шарты |
болып |
осы ϕ бұрышы |
ϕ = |
2πm |
|
||||||||
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
болатындай жағдайды аламыз, мұндағы |
m, n – |
бүтін сандар. Сонда нүктенің |
|||||||||||
радиус векторы n рет периодты қайталанып отырып жəне m рет бүтін айналып өзінің бастапқы мəніне сəйкес келеді де, траектория тұйықталады.
48
9 – сурет
Бірақ U (r) жалпы түрде ϕ − 2π -дің рационалды бөлімі емес. Сондықтан мұндай жағдайларда финитті траектория тұйық бола бермейді.
Орталық өрістің тек қана екі түрінде ғана финитті қозғалыстардың
траекториясы тұйықталады. Бұлар потенциалды энергиясы U (r) ~ |
1 |
жəне |
||
|
||||
|
1 |
|
r |
|
U (r) ~ |
- қа пропорционал өрістер болып табылады. |
|
|
|
r 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Орталық өріс дегеніміз не?
2.Лагранж функциясын полярлық координаттарда жаз.
3.Циклдық координата дегеніміз не?
4.Орталық өріс дегеніміз не?
5.Кеплердің екінші заңы.
12 Кеплер есебі
Орталық өрістердің маңызды жағдайлары ретінде, потенциалдық энергиясы r -ға жəне осыған сəйкес күштер r 2 -қа кері пропорционал болатындай өрістерді қарастыруға болады. Бұларға мысал ретінде сипаты бойынша тартылысты беретін ньютондық ауырлық өрісін жəне əрі тартылыс, сонымен бірге тебілістерді беретін кулондық электростатикалық өрістерді жатқызуға болады.
Бастапқыда потенциалдық энергиясы
U = − α |
(1) |
r
49
болатындай оң таңбалы α тұрақтысы бар тартылыс өрісін қарастырамыз. «Эффективті» потенциалдық энергиясы 10 – суреттегідей түрде болады:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 – |
сурет |
|
||||||
|
|
|
|
|
U |
|
|
= − α |
+ |
M 2 |
|
|
(2) |
||||
|
|
эфф |
2mr 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r → 0 |
болғанда ол + ∞ -ке айналады, ал r → ∞ ол теріс таңбасына байланысты |
||||||||||||||||
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нөлге ұмтылады; r = |
|
болғанда ол мына минимумға тең болады: |
|
||||||||||||||
αm |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(U |
|
|
) = − α 2 m . |
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
эфф |
min |
2M 2 |
|
|||||||
Осы графиктен E 0 болған жағдайда бөлшектің қозғалысы инфинитті, ал |
|||||||||||||||||
E 0 |
финитті болатыны көрініп тұр. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Траекторияның формасын мына жалпы формуладан аламыз: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = ∫ |
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
+ const |
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2m[E − U (r )]− |
M 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Осы өрнекке U = − α мəнін қойып жəне элементар интегралдау жүргіземіз:
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M |
dr |
|
|
|
|
|
M |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ = ∫ |
|
|
r 2 |
|
|
= ∫ |
|
|
r 2 |
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2m[E − U (r )]− |
|
|
2mE + 2m α |
|
|||||||||||||
|
|
M |
2 |
|
|
|
− |
M 2 |
|
|
|
||||||
|
|
r 2 |
|
|
|
|
r 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||