Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

теорет.механика

.pdf
Скачиваний:
140
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
1.02 Mб
Скачать
☆

II САҚТАЛУ ЗАҢДАРЫ

8 Импульстің, импульс моментінің, энергияның сақталу заңдарының кеңістік пен уақыт симметрияларымен байланысы

8.1 Энергияның сақталу заңы

Сонымен механикалық жүйе қозғалысқа түскенде оның механикалық күйін сипаттайтын qi , qɺi шамалары уақытқа тəуелді өзгереді (i=1,2,…,s). Бірақ, осы шамалардың кейбір функциялары қозғалыс кезінде өздерінің алғашқы шарттарға тəуелді мəндерін сақтап қалады екен. Осы функцияларды қозғалыс интегралдары деп атайды.

Осы қозғалыс интегралдарының кейбірі кеңістік пен уақыттың біртектілігі жəне изотроптылығы қасиеттерімен байланысты екен. Барлық осы сақталып тұрған шамалардың ортақ аддитивтік қасиеті бар. Яғни бір-бірімен əсерлеспейтін бөлшектерден тұратын жүйе үшін осы сақталатын шамалардың мəндері əрбір бөлшектің жеке-жеке мəндерінің қосындысынан тұрады.

Осы шамалардың аддитивтілігінің механикалық маңызы жоғары болып табылады. Екі дене біршама уақыт мезетінде бір-бірімен əсерлессін деп есептейік. Жүйенің əсерлескенге дейінгі жəне кейінгі аддитивтік интегралдары мəндері осы денелердің жеке-жеке аддитивтік интегралдарының мəндерінің қосындысына тең болғандықтан, осы шамалардың сақталу заңдары егер олардың əсерлескенге дейінгі күйлері белгілі болса, əсерлескеннен кейін де денелердің күйі туралы мағлұмат алуға болады.

Уақыттың біртектілігінен туатын сақталу заңын қарастырамыз.

Тұйық жүйенің Лагранж функциясы біртекті болғандықтан, ол функция уақытқа тəуелді болмайды. Сондықтан Лагранж функциясының уақыт бойынша толық дифференциалы былай жазылады:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

= ∑

dq

i

 

+ ∑

 

d q

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

∂qi

dt

 

 

×

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

∂ qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лагранж теңдеуі:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

−

d

 

 

∂L

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂qi

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)-ден

∂L

тауып алып, (1)

қоямыз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂qɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL = ∑ d ∂L qɺi + ∑ ∂L

 

dqi

= ∑ d ∂L qɺi + ∑ d ∂L qɺi = ∑ d ∂L qɺi ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

i

dt

 

∂qɺi

 

i

∂qɺi

 

dt

 

 

i

 

dt

 

∂qɺi

 

 

 

 

i

dt

 

∂qɺi

i

dt

 

∂qɺi

 

(1)

(2)

(3)

31

немесе

 

 

d

∑

∂L

 

 

 

 

 

 

 

 

qɺi

− L

= 0

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

i

∂qɺi

 

(4)

 

∑

∂L

 

 

 

 

 

 

qɺi

− L

= const = E

 

 

i

 

∂qɺi

 

 

 

(5)

(4) E-шамасы тұйық жүйенің қозғалысы кезінде өзгеріссіз қалады. Бұл жүйенің энергиясы деп аталады.

Энергияның сақталу заңы тек тұйық жүйелер үшін ғана орындалып қоймай, кейде сыртқы өрісте (уақытқа тəуелсіз) болатын жүйелер үшін де орындалады. Энергиялары сақталатын механикалық жүйелер консервативті жүйелер деп аталады.

Тұйық жүйе үшін Лагранж функциясы мынадай екенін білеміз:

L = T (q, q) − U (q)

 

ɺ

(6)

 

мұндағы T – жылдамдықтың квадратының функциясы. Осыған Эйлердің біртекті функцияларына арналған теоремасын қолдансақ:

∑qɺi

∂L

= ∑qɺi

∂T

= 2T

 

∂qɺ

 

 

i

i

∂qɺ

(7)

 

i

 

i

Осыны (4) қойсақ:

E = 2T (q, qɺ) − (T (q, qɺ) − U (q)) = T (q, qɺ) + U (q)

(8)

декарттық координаталар жүйесінде:

E = ∑

maυa2

+ U (r1, r2 ,...)

2

a

(9)

 

Сонымен жүйенің энергиясы екі əртүрлі шамалардың қосындысынан: жылдамдыққа тəуелді кинетикалық энергия мен бөлшектің координатасына тəуелді потенциалдық энергияларының қосындысынан тұрады.

32

8.2 Импульстің сақталу заңы

Тағы бір сақталу заңы кеңістіктің біртектілігінен туындайды. Тұйық жүйенің біртектілігінен оның механикалық қасиеттері осы жүйені кеңістікте кез-келген бағытта параллель көшірсек өзгермейді.

L – Лагранж функциясы өзгермейтіндей етіп шексіз аз ε көшіруін қарастырамыз.

Параллель көшіру дегеніміз кеңістіктің барлық нүктелері түрлендіру кезінде бірдей қашықтыққа орын ауыстырады дегені, мысалы:

ra → ra + ε .

(1)

Жылдамдығы өзгермейтіндей болып координатаның өте аз қашықтыққа орын ауыстыруы кезіндегі Лагранж функциясы L-дің өзгерісі былай жазылады:

δL = ∑

∂L

δra

= ε ∑

∂L

 

(2)

 

∂r

a

∂r

a

 

a

a

 

Жүйенің барлық материалдық нүктелерінің қосындысын қарастырамыз. ε

-ні қалауымызша ала алғандықтан, δ L = 0

деп ала аламыз:

 

∑ ∂Lδra .

a ∂ra

Лагранж теңдеулерінен:

∂L − d ∂L =

0,

∂ra dt ∂va

d

 

∂L

=

∂L

.

 

 

 

dt ∂v

∂r

 

 

a

a

(2) қоямыз:

∑

d

 

∂L

=

d

∑

∂L

= 0

dt

 

∂v

dt

∂v

a

 

a

 

 

a

a

 

болса,

∂L = const = P; ∂va

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

33

P = ∑ ∂L

 

 

 

 

a

v

(8)

a

P – импульс деп аталады. Ол жүйе қозғалысқа түскенде өзгеріссіз қалады.

8.3 Импульс моменті сақталу заңы

Кеңістіктің изотроптығынан пайда болатын сақталу заңын қорытамыз. Кеңістіктің изотроптығы дегеніміз тұйық жүйенің механикалық қасиеттері сол жүйені кеңістікте кез келген бағытта бұрғанда өзгермейді. Осыған байланысты жүйенің шексіз аз бұрылуын қарастырамыз да, осы жүйенің Лагранж функциясы өзгермейтіндей етіп аламыз. δϕ – шексіз аз бұрылу векторын енгіземіз. Оның абсолюттік шамасы δϕ – бұрылу бұрышына тең, ал бағыты бұрылу осімен сəйкес болады.

5 – сурет

Осы қарастырылып отырған кеңістіктің кез келген бір материалдық нүктесінің бұрылуының радиус векторының өзгерісін жазамыз:

 

δr

 

= r × sin δϕ = lδϕ .

(1)

 

 

 

 

Себебі

δϕ << 1 ϕ = 1; l = r sinθ .

(2)

Сонымен

 

δr

 

= r sinθδϕ

(3)

 

 

Ал бағыты бойынша жазсақ:

34

δr = [δϕ × r ]

(4)

Жүйенің бұрылуы кезінде радиус векторының тек бағыты ғана өзгеріп қоймай, олардың жылдамдықтары да өзгереді. Сонымен қатар осы барлық векторлар бірдей заң арқылы өзгереді:

δV = [δϕ ×υ ]

(5)

осы мəндерді Лагранж функциясының бұрылу кезіндегі сақталу шартына қоямыз:

 

 

L

 

 

 

L

 

 

δL = ∑

 

δra

+

 

 

 

δυa

= 0

 

 

 

a

 

ra

 

 

ra

 

 

∂L

 

 

 

 

 

 

∂L

ɺ

 

 

= Pa

жəне

 

 

= Pa

 

 

 

υa

 

 

 

 

 

 

ra

 

 

ескерсек:

∑ (Pɺa ×δra + Pa ×δυa )= 0

a

∑ (Pɺa [δϕ × ra ]+ Pa [δϕ ×υa ])= 0

a

(6)

(7)

(8)

(9)

Циклдік орын алмастыру арқылы δϕ -ді сумманың алдына шығаруға мүмкіндік жасаймыз:

δϕ ∑ ([ra

× Pɺa ]+ [υa

× Pa

])= δϕ

d

∑[ra × Pa ]= 0 .

(10)

dt

a

 

 

 

a

 

δϕ - қалауымызша ала аламыз. Сондықтан

 

d

∑ [ra

× Pa ]= 0 .

(11)

 

dt

 

a

 

 

Яғни тұйық жүйе қозғалысы кезінде

 

M = ∑ [ra

× Pa ]= const

(12)

 

 

a

 

 

сақталады.

35

(12) – жүйенің импульс моменті немесе моменті деп аталады. Бұл шама аддитивті болып табылады. Өйткені, жүйенің күйі бұл бөлшектердің арасында өзара əсерлесу бар ма, жоқ па, оған байланысты емес.

Сонымен тұйық жүйенің жеті қозғалыс интегралы бар. Олар: энергия жəне импульс пен моменттің үш-үштен алған құраушылары (алты қозғалыс интегралы).

Момент туралы айтқанда бөлшектің радиус-векторы жайында айтылып отыр. Ал радиус-вектордың мəні санақ жүйесіне қатысты анықталады.

Бастапқы нүктеден a қашықтықта қалып отырған нүктенің ra

жəне ra′ радиус-

векторлары арасындағы қатынас мынаған тең:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ra

= ra′ + a .

 

 

 

 

 

 

(13)

Сондықтан:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∑

[r

×

 

]

= ∑

[r ¢

 

]

+

a

 

 

,

(14)

M

P

P

P

 

a

a

 

a ×

a

 

 

∑ a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

немесе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M = M ¢ + [aP].

 

 

 

 

(14)

Егер P = 0 болса, яғни жүйе тыныштықта болса, оның моменті координата басын таңдауға тəуелді болмайды. Ал шынында тұйық жүйе үшін импульс сақталғандықтан мұндай анықталмағандықтың осы моменттердің сақталуында мағынасы жоқ болады.

Əр түрлі K жəне K ′ санақ жүйесіндегі импульс моменттерінің мəндерін байланыстыратын формуланы қорыталық. K ′ инерциалды санақ жүйесі K санақ жүйесіне қарағанда υ жылдамдықпен қозғалады. K жəне K ′ инерциалды санақ жүйелерінің координаталары берілген уақытта сəйкес келгендіктен жылдамдықтары да сəйкес келеді:

υa =υa¢ + V ,

 

M = ∑ ma [raυa ] = ∑ ma [raυa¢ ]+ ∑ ma [raV ].

a

a

a

Өрнектің оң жағындағы бірінші қосынды M ′ , яғни K ′

момент. Ал екінші жағындағы

 

 

 

 

 

∑ ma ra

 

R =

 

∑ ma

 

 

 

a

 

a

(15)

(16)

санақ жүйесіндегі

(17)

36

қосындыда инерция центрін ескере отырып:

M = M ¢ + μ[RV ].

(18)

Бұл формула импульс моментінің бір жүйеден екінші жүйеге өткен кездегі түрленуін береді. V – инерция центрінің жылдамдығы болса, μV – толық импульс болып табылады:

M = M ¢ + [R × P].

(19)

Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы

1.Импульстің сақталу заңы.

2.Импульс моментінің сақталу заңы.

3.Энергияның сақталу заңы.

4.Кеңістіктің біртектілігі мен изотроптығы.

5.Уақыттың біртектілігі.

9. Инерция центрі. Келтірілген масса

Лагранж функциясын

L = ∑

maυa2

-U (r1, r2 ,..., ra )

2

a

 

дифференциалдап, импульсті нүктенің жылдамдығы арқылы жазамыз:

P = ∑maυa

a

Жүйенің импульсі нүктелердің импульсінің қосындысына тең

(9)

(10)

 

 

 

Pa = maυa

(11)

(3) физикалық мағынасы

∂L

= -

∂U , a -бөлшегіне əсер етуші Fa

күші екенін

 

 

ra

ra

 

білеміз. Сонда (3) бүкіл жүйеге əсер етуші қорытқы күш Fa тұйық жүйе үшін нөлге тең екенін көруге болады:

∑ Fa = 0

a

(12)

37

Яғни Ньютонның үшінші заңы бойынша екі материалдық нүктеден тұратын тұйық жүйедегі екінші бөлшектің бірінші бөлшекке əсер етуші күші мəні бойынша жəне бағыты бойынша сол бірінші бөлшектің күшіне мəні бойынша тең, ал бағыты бойынша қарама-қарсы.

Егер жүйені жалпылама координата арқылы өрнектесек, жалпылама импульс:

P =

∂L

.

(13)

×

i

 

 

 

∂ qi

 

Ал оның туындысы жалпылама күш деп аталады:

F = ∂L

 

i

∂qi .

(14)

 

Ал осы жағдайлардағы Лагранж теңдеуінің түрі:

Pɺi = Fi .

(15)

Егер K ′ санақ жүйесі K санақ жүйесіне қатысты

 

V жылдамдықпен

қозғалса, онда олардың импульс мəні əртүрлі болады, яғни

P, P′ болады. Ал

сол жүйелердегі материалдық нүктелердің осы санақ жүйесіне қатысты жылдамдықтары:

 

 

va = v ′ + V .

(16)

Сондықтан,

 

 

 

 

 

 

 

P = ∑ ma va = ∑ ma va′ + ∑ maV = P′ + V ∑ ma ;

(17)

a

a

 

a

 

a

 

Егер K ' санақ жүйесінде p' = 0 болатындай тұйық жүйе үшін p′ = 0 , болса

 

 

 

P = V ∑ ma ;

(18)

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑ ma va

 

 

=

P

=

 

 

a

 

V

 

 

 

.

(19)

∑ ma

 

∑ ma

 

 

a

 

 

a

 

Дифференциалдық түрде:

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑ ma ra

 

 

dR

=

d

 

.

(20)

 

a

dt

dt

 

∑ ma

 

 

 

 

a

(17) тұйық жүйенің жылдамдығы. Ол импульстің мəнін бір ғана материалдық бөлшектің массасы: μ = ∑ ma . Сол жүйедегі бүкіл бөлшектердің массасының

a

қосындысына тең болған жағдайда қандай болар еді, соны түсіндіреді. Массалар аддитивті болса (17)-ні былай жазуға болады:

 

∑ ma ra

 

R =

a

 

 

.

(21)

∑ ma

a

Осыны инерция центрі деп атайды.

Əсерлесуші екі дененің бірін орталық дене деп, оның массасын салыстырмалы түрде үлкен деп алып жүр едік. Мысалы мынадай есептерде екі дененің массалары жуық түрде бірдей болсын (қос жұлдыз, протон-нейтрон, т.б.). Осындай кездерде екі дененің қозғалыс есебін бір дененің қозғалыс есебіне түрлендіруге болады. Тұйық жүйеде осы екі дене тек бір-бірімен ғана əсерлеседі деп қарастырамыз.

 

 

 

 

 

6 –

сурет

 

 

 

 

 

 

 

 

Массасы

m дененің радиус векторы r ,

ал массасы m

2

дененің радиус

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы r .

Құраушылары r (x , y , z )

жəне

r (x

, y

, z

2

).

Белгілі формула

2

1

1

1

1

 

 

2

2

2

 

 

 

 

бойынша екі нүктенің инерция центрі:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m r

+ m r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R =

 

 

1 1

2 2

,

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

екі нүктенің радиус векторларын бір-бірімен салыстырғанда

39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = r1

 

− r2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Енді r1 жəне r2 табамыз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ m

 

 

) = m r

+ m

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2 = r1 − r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(m + m ) = m r

+ m

(r − r ) = m r

+ m

r

− m

r

= (m + m

)r

− m r

 

1

2

 

 

1

1

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

2

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

=

R +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

r − m r − m

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

=

R +

 

 

 

2

 

 

 

 

− r

 

=

R +

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

m2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

= R −

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциалдық түрде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rɺ1

=

Rɺ +

 

 

m2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1rɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rɺ2

= R −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ал кинетикалық энергия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T =

m1r1

 

 

 

+

 

m2 r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T =

Rɺ +

 

m2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

Rɺ

−

 

 

m1r

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m + m

 

 

 

 

 

 

 

 

m + m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

ɺ

 

 

ɺ

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɺ

 

2

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

=

ɺ

2

+

2Rm2 r

+

 

 

 

m2 rɺ

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

ɺ

2

 

−

2Rm1rɺ

 

 

 

+

 

m1 rɺ

 

 

 

=

2

R

 

m + m

2

 

 

(m + m

2

 

)2

 

 

 

2

 

 

 

R

 

m + m

2

 

(m + m

)2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

40

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности