теорет.механика
.pdf
|
d |
(Ω + iΩ |
) = iω(Ω + Ω |
), |
(14) |
|||||
|
|
|||||||||
|
dt |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
1 |
+ iΩ |
2 |
= Ae iωt |
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ω1 = Acosωt , Ω2 = Asin ωt |
(16) |
|||||||||
Мұндағы A – тұрақты сан. Бұл нəтиже бұрыштық жылдамдықтың ұршықтың осіне перпендикуляр жазықтыққа түсірілген проекциялары осы жазықтықта ω
|
|
( |
|
= A) айналатынын көрсетеді. |
|
бұрыштық жылдамдықпен |
тұрақты |
Ω12 + Ω22 |
|||
|
|
|
|
|
|
Ω3 = const болғандықтан, жалпы Ω – |
бұрыштық жылдамдығының векторы – |
ω |
|||
жылдамдықпен ұршықтың осін бірқалыпты тұрақты айналады. |
|
||||
M 1 = I1 Ω1 , M 2 = I 2 Ω 2 , |
M 3 = I 3 Ω 3 |
|
|
|
|
байланысына сүйене отырып |
M |
||||
векторы да осындай қозғалысқа түседі деп айта аламыз.
Эйлер бұрыштарының ψɺ бұрыштық жылдамдығымен сəйкес келеді. Яғни
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M векторының z` осінің маңында айналуының бұрыштық жылдамдығы ψ – |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
мен бірдей болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ψɺ = |
M cosθ |
− ϕɺcosθ = |
|
|
I |
− |
I |
|
|
|||
M cosθ |
. |
(17) |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
I3 |
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|||||
Немесе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−ψɺ = Ω |
|
I 3 |
− I1 |
. |
|
|
|
|
(18) |
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Қатты дененің қозғалыс теңдеулері.
2.Лагранж функциясы.
3.Қатты дене үшін Эйлердің қозғалыс теңдеулері.
4.Қатты дененің моменттер теңдеуі.
5.Толық күш моменті.
27 Инерциалды емес санақ жүйелеріндегі қозғалыс
Біз осы уақытқа дейін кез-келген механикалық жүйенің қозғалысын инерциалық санақ жүйелерінде қарастырдық. Сыртқы өрістің əсерінен қозғалған бір ғана инерциалды санақ жүйесіндегі Лагранж функциясы:
L0 |
= |
mv02 |
− U |
(1) |
|
||||
|
2 |
|
|
|
111
жəне оның қозғалыс теңдеуі:
mv02 |
= − |
∂U |
(2) |
2 |
|
∂r |
|
Енді бөлшектің инерциалды емес жүйесіндегі қозғалыс теңдеуі қалай жазылады деген мəселені алатын болсақ, бұл жерде де механиканың ең аз əсер принципінің кез-келген санақ жүйесінде қолданылуына шек қойылмауын пайдалана аламыз жəне Лагранж теңдеуін жазамыз:
|
d |
∂L |
= ∂L . |
(3) |
|
|
|||
|
dt ∂v |
∂r |
|
|
Бірақ Лагранж функциясын табу үшін L0 функциясына сəйкесінше |
||||
түрлендірулер енгізу қажет болады. |
|
|
||
Осы түрлендірулерді жасау үшін екі қадам жасау керек. Біріншіден: |
K 0 |
|||
|
|
|
|
|
инерциалды санақ жүйесіне қатысты ілгерілемелі V (t ) жылдамдықпен |
||||
қозғалатын K ′ санақ жүйесін аламыз. Осы екі K 0 жəне K ′ санақ жүйелеріне |
||||
бөлшектің v0 жəне v ′ жылдамдықтарының арасындағы байланыс: |
|
|||
v0 = v ′ + V (t ) |
(4) |
|||
Осы өрнекті қолданып K ′ санақ жүйесіндегі Лагранж функциясын жазатын болсақ:
|
′ |
2 |
|
|
mV |
2 |
|
|
|
L′ = |
mv |
|
+ mvV |
+ |
|
− U |
(5) |
||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
V 2 (t ) – берілген уақыт функциясы болып табылады. Бұл басқа бір функцияның уақыт бойынша толық туындысы ретінде жазыла алатындықтан, осыған қатысты үшінші мүшені ескерусіз қалдыруға болады.
v ′ = dr ′ ; dt
мұндағы r ′ – бөлшектің санақ |
K ′ |
санақ жүйесіндегі радиус-векторы екенін |
|||||||||
ескерсек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
d |
|
dV |
|
|
mV |
(t )v ′ = mV |
dr |
= |
(mVr ′)− mr ′ |
. |
(6) |
|||||
|
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
||
Соңында (5)– ті қайта жазатын болсақ:
112
= dV
Мұндағы W
dt
табылады. (7) – болады:
|
′ |
2 |
|
|
|
L′ = |
mv |
|
+ mW (t )r ′ − U . |
(7) |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
– K ′ санақ жүйесінің ілгерілемелі қозғалысының үдеуі болып
ні қолданып Лагранждың қозғалыс теңдеуін былай жазуға
d ′ |
|
∂U |
|
|
|
||||
|
|
mv |
= − |
∂r ′ − mW (t ) |
(8) |
||||
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dv ′ |
|
|
∂U |
(t ) |
|
||
m |
|
= − |
− mW |
(9) |
|||||
dt |
∂r ′ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Яғни (9) санақ жүйесінің үдетілген ілгерілемелі қозғалысы бөлшектің қозғалыс теңдеуіне ықпалын көрсетеді. Ол біртекті күш өрісінің пайда болуы арқылы түсіндіріледі. Сонымен қатар бұл өрістегі əсер етуші күш бөлшектің
|
|
|
|
|
|
|
|
|
қарама-қарсы |
массасын |
W |
үдеуіне |
көбейткенге |
тең |
жəне осы |
үдеуге |
|||
бағытталған. |
|
|
|
болады, яғни K ′ |
|
|
|||
Екінші |
қадамды былай жазуға |
жүйесімен бастапқы |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нүктесі ортақ, бірақ оған қатысты Ω(t ) бұрыштың жылдамдықпен айналатын К |
|||||||||
санақ жүйесін енгіземіз. |
Ал K 0 инерциалды жүйесіне қатысты осы К жүйесі |
||||||||
ілгерілемелі де жəне айналмалы да қозғалыс жасайды. |
|
|
|||||||
Бөлшектің |
K ′ |
санақ жүйесіндегі |
v ′ |
жылдамдығы осы |
бөлшектің К |
||||
жүйесіне қатысты v |
|
|
|
|
|
|
|
||
жылдамдығымен оның К жүйесімен бірге айналуының [Ωr ] |
|||||||||
жылдамдығының қосындысынан тұрады: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
v ′ = v |
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
+ [Ωr ] |
|
||||
бөлшектің r ′ жəне r K жəне K ′ жүйелерінде радиус-векторлары бір-бірмен сəйкес болады. Осы өрнекті Лагранж функциясына арналған өрнекке қоямыз:
|
mv |
2 |
|
|
|
|
|
L = |
|
+ mv[Ωr ]+ |
m |
[Ωr ]2 |
− mWr ′ −U |
(11) |
|
|
|
2 |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
||
Бұл бөлшектің қалауымызша алған инерциалды емес санақ жүйесіндегі Лагранж функциясының жалпы түрі болып табылады. Санақ жүйесінің айналуы, Лагранж функциясындағы ерекше бір мүше – бөлшектің сызықты жылдамдығының пайда болуына алып келетінін айта кетуге болады.
Енді Лагранж теңдеуіне енетін туындыларды есептейік.
dL = mvdv + mdv[Ωr ]+ mv[Ωdr ]+ m[Ωr ][Ωdr ]−
− mWdr − ∂U dr = mvdv + mdv[Ωr ]+ mdr [vΩ]+ ∂r
113
Енді
d ∂L = ∂L dt ∂v ∂r
+ m[[Ωr ]Ω]dr − mWdr − ∂U dr .
∂r
dv жəне dr бойынша мүшелерді жинақтаймыз:
∂L = mv + m[Ωr ],
∂v
∂L |
= m[vΩ]+ m[[Ωr ]Ω]− mW − ∂U , |
||
|
|
|
|
∂r |
|
|
∂r |
теңдеуіне қоятын болсақ:
m dv = − ∂U − mW + m[rΩɺ ]+ 2m[vΩ]+ m[Ω[rΩ]]. dt ∂r
(12)
(13)
(14)
(15)
Санақ жүйесінің айналуымен пайда болатын «инерция күштері» үш бөліктен тұрады деп айтуға болады. Мысалы m[rΩɺ ] – айналудың бір текті еместігімен пайда болатын күш. Қалған екеуі бір текті айналу кезінде де пайда болады. 2m[vΩ] – Кориолис к ші деп аталады. Бұл басқа күштер сияқты емес,
яғни бөлшектің жылдамдығына тəуелді болмайды. m[Ω[rΩ]] – центрден тепкіш к ш деп аталады. Мəні бойынша ол mρΩ2 , мұндағы ρ – бөлшектің орнынан айналу өсіне дейінгі арақашықтықты көрсетеді. Бағыты бойынша r арқылы өтетін жазықтыққа бағытталған, ал айналу өсіне (яғни Ω бағытына) перпендикуляр болады. Координаттар жүйесінің біртекті айналып отырған
жағдайын қарастырайық. Яғни |
|
ілгерілемелі үдеу W = 0; Ω = const |
болса, |
|||
Лагранж функциясы: |
|
|
|
|
|
|
|
mv |
2 |
|
|
|
|
L = |
|
+ mv[Ωr ]+ |
m |
[Ωr ]2 − U |
(16) |
|
|
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
|
||
ал қозғалыс теңдеуі:
m dv = − ∂U + 2m[vΩ]+ m[Ω[rΩ]] dt ∂r
Бөлшектің энергиясын есептеу үшін:
P = ∂L = mv + m[Ωr ] ∂v
E = pv − L
(17)
(18)
114
|
|
2 |
|
2 |
|
||
E = |
mv |
− |
m |
[Ωr ] + U . |
|
||
|
(19) |
||||||
|
|
|
|||||
2 2
Энергияда жылдамдық бойынша сызықты мүше жоқ екеніне көңіл аударайық. Санақ жүйесінің айналуы энергияға арналған өрнекте тек бөлшектің координатына жəне бұрыштың жылдамдығының квадратына тəуелді қосымша
|
|
2 |
|
||
мүшенің пайда болуына əкеліп |
соғады. Осы қосымша − |
m |
[Ωr ] |
энергиясы |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
центрден тепкіш потенциалды энергия деп аталады. |
|
|
|||
Біртекті айналып тұрған |
санақ жүйесіне қатысты алған |
бөлшектің |
|||
жылдамдығы v ; осы бөлшектің инерциалды санақ жүйесі K 0 -ға қатысты
жылдамдығы v0 жылдамдығымен былай байланысты:
v |
= v + [Ωr ] |
(20) |
0 |
|
|
Сондықтан K жүйесіндегі импульсі p |
оның K 0 жүйесіндегі импульсі |
|
p0 = mv0 сəйкес келеді. Сонымен қатар моменттері де сəйкес болады.
|
|
M |
0 |
= [rp |
0 |
] жəне M = [rp |
] |
|
(21) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ал K жəне K 0 жүйелеріндегі энергиялары əр түрлі болады. Сондықтан |
||||||||||||
(20)-(19)-ға қойып: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
mv0 |
|
|
|
|
mv0 |
|
|
|
|||
E = |
− mv [Ωr ]+ U = |
+ U − m[rv |
]Ω |
(22) |
||||||||
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Осындағы алғашқы екі мүше K 0 жүйесінің энергиясы E0 білдіреді, ал |
||||||||||||
үшінші мүшесі импульс моменті, сондықтан: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
E = E0 − MΩ . |
|
|
(23) |
|||||
Осы формуламен координаттар жүйесінің біртекті айналмалы қозғалысқа өткен кездегі энергияның түрленуін есептеуге болады.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Инерциалды емес санақ жүйелері.
2.Кориолис күші.
3.Центрден тепкіш күш.
4.Центрден тепкіш потенциалдық энергия.
5.Жалған күштер табиғаты.
115
VII ГАМИЛЬТОН-ЯКОБИ ТЕҢДЕУІ
28 Пуассон жақшалары. Пуассон жақшаларының қасиеттері. Якоби теңдігі
Кез-келген f (p, q, t ) функциясын – координата, импулсь жəне уақыттың функциясы ретінде қарастыралық. Оның уақыт бойынша толық туындысын қарастыратын болсақ
|
df |
= |
∂f |
|
|
|
|
|
∂f |
|
+ |
|
∂f |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dt |
|
+ ∑ |
|
|
|
qk |
|
∂pk |
|
pk . |
||||||||||||||
|
|
∂t |
|
k |
∂qk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Гамильтон теңдеулерін қолданамыз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ɺ |
|
|
|
∂H |
|
|
ɺ |
|
|
∂H |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= − ∂qk |
= |
∂pɺk . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
p k |
; qk |
|
(2) |
|||||||||||||||||||
(1)-ге қойғанда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
|
= |
∂f |
+ {H , f }, |
|
|
|
(3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
∂t |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Мынадай белгілеу енгіздік |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂H |
|
∂f |
|
− |
|
|
∂H ∂f |
|
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
{H , f } = ∑ |
∂pk ∂qk |
|
|
∂qk |
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
∂pk |
|
|||||||||||||||
H жəне f -ке арналған өрнекті Пуассон жа шалары деп атайды.
Жүйенің қозғалысы кезінде тұрақты болып қалатын динамикалық айнымалыларға тəуелді осындай функцияларды біз қозғалыс интегралдары деп
аталатынын білеміз. (3) өрнегінде көріп тұрғандай, |
f -тің қозғалыс интегралы |
болуы шарты ретінде |
|
∂f + {H , f } = 0 |
(5) |
∂t |
|
деп жазуға болады. Егер де қозғалыс интегралы анық уақыттан тəуелсіз болса
{H , f } = 0 , |
(6) |
яғни, оның Гамильтон функциясымен жасаған Пуассон жақшасы нөлге айналуы тиіс. Кез-келген f жəне g шамаларының құраған Пуассон жақшалары да осындай жолмен табылады
116
|
|
∂H |
|
∂g |
− |
∂f ∂g |
|
(7) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
{fg} = ∑ |
∂pk |
|
∂qk |
∂qk |
|
|
. |
|||
k |
|
|
|
|
∂pk |
|
||||
Енді осы анықтамаларды қолданып Пуассон жақшаларының қасиеттерін көрсетелік. Егер де функциялардың орнын алмастырса, жақшаның таңбасы өзгереді:
|
|
{fg} = −{gf }, |
|
(8) |
|||
Егер функциялардың бірі тұрақты шама болса, жақша нөлге айналады: |
|
||||||
|
|
|
{fc} = 0 . |
|
|
(9) |
|
Əрі қарай: |
|
|
|
|
|
||
{f1 + f 2 , g} = {f1 g}+ {f 2 g}, |
(10) |
||||||
немесе |
|
|
|
|
|
||
{f1 f 2 , g} = f1 {f 2 g}+ f 2 {f1 g}. |
(11) |
||||||
(7) уақыт бойынша дербес туынды алып: |
|
|
|
|
|||
|
∂ |
{fg} = |
∂f g |
+ |
f |
∂g . |
(12) |
|
|
||||||
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
∂t |
|
||
Егер f жəне g функцияларының бірі импульс немесе координаттың бірімен сəйкес келсе, Пуассон жақшалары жай ғана дербес туындыны көрсетеді деуге болады
|
|
|
|
{fqk } = |
∂f |
, |
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂pk |
|
|||
немесе |
|
|
|
∂f |
|
|
|||
|
|
|
|
{fpk } = − |
. |
(14) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂qk |
|
||
|
∂qk |
= δ kl , ал |
∂qk |
= 0 болғандықтан |
(13) формуланы (7) өрнектегі |
g = qk |
|||
|
|
|
|||||||
|
∂ql |
∂pl |
|
|
|
|
|
||
қойып алуға да болады. |
|
|
|
|
|
||||
(13) жəне (14)-ке qi жəне pi тең функцияларды қойып |
|
||||||||
|
|
|
|
{qi qk } = 0 , {pi pk } = 0 , {pi pk } = δ ik . |
(15) |
||||
Сонымен Пуассон жақшаларының үш функциялар арқылы жазылған қатынасты Якоби те дігі деп атайды:
117
{f {gh}}+ {g{hf }}+ {h{fg}} = 0 . |
(16) |
29 Гамильтон-Якоби теңдеуі. Оның математикалық құрылысы. |
|
Толық интегралы |
|
Ең аз əсер принципі бойынша: |
|
t2 |
|
δS = δ ∫ L(q, qɺ,t )dt = 0 , |
(1) |
t1 |
|
мұндағы əсер ұғымының уақыт пен координатаның функциясы ретінде берілуі туралы баяндалған болатын:
t2 |
|
S = ∫ L(q, qɺ,t )dt . |
(2) |
t1 |
|
Сонымен қатар, (2) жүйенің берілген t1 жəне t2 уақыт моменттеріндегі q1 жəне q2 нүктелерінің арасындағы жасаған траекториясы арқылы алынған интегралы болып табылады. Əсердің вариациясы нəтижесінде осы интегралдың кезіндегі мəндерін бір біріне жақын траекториялар үшін салыстырғанда, S -тің тек минимум мəніне сəйкес келетін интегралы ғана
қозғалыстың шын түрін сипаттайды.
Енді S -ті q(t1 ) = q1 бастапқы нүктесі ортақ, бірақ t2 уақыт моментінде əртүрлі нүктелерден өтетін траекторияны сипаттау үшін қарастырамыз. Былайша айтқанда, əсер интегралын интегралдаудың жоғарғы шегіндегі координаттың функциясы ретінде аламыз.
Əсердің бір траекториядан екінші оған жақын траекторияға өту кезіндегі өзгерісін жазатын болсақ:
|
δS = |
∂L |
|
t2 |
+ |
t2 |
|
∂L |
− |
d ∂L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂qɺ |
δq |
|
|
|
|
|
|
δqdt . |
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
t |
|
∫t |
∂q dt ∂qɺ |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Шын |
қозғалыстың |
|
траекториясын |
Лагранж |
теңдеулері |
||||||||
қанағаттандыратындықтан, (3) интеграл нөлге тең болады. Бірінші мүшедегі
төменгі шек δq(t ) = 0 , ал |
δq(t ) = δq деп белгілейміз. |
∂L = p деп белгілеп, |
1 |
2 |
∂qɺ |
|
соңында: δS = pδq немесе жалпы жағдайда кез келген еркіндік дəрежесі үшін |
|
δS = ∑ piδqi , |
(4) |
i |
|
Осы өрнектен көріп тұрғанымыздай, əсерден координата бойынша алынған дербес туынды импульсқа тең болады:
118
∂S |
= p . |
(5) |
|
||
∂qi |
|
|
|
i |
|
Осыған ұқсас əсерді уақыттың функциясы ретінде де қарастыруға болады. Сонымен қатар траекторияны берілген q1 нүктесінде t1 берілген уақыт
мезетінде басталып, берілген q2 нүктесінде əртүрлі |
t2 = t уақыт мезеттерінде |
||||
аяқталды деп ұйғарамыз. |
∂S |
дербес туындысын |
сəйкесінше интегралды |
||
∂t |
|||||
вариациялау арқылы аламыз. |
|
|
|
|
|
Əсердің берілген анықтамасы бойынша оның траекторияның бойымен |
|||||
алынған уақыт бойынша толық туындысы |
|
||||
|
|
|
dS |
= L . |
(6) |
|
|
|
|
||
|
|
|
dt |
|
|
Бір жағынан əсерді, жоғарыда айтылғандай, координата мен уақыттың функциясы ретінде қарастыра отырып, сонымен бірге (5) формуласын қолданып
|
|
dS |
= |
∂S |
+ ∑ |
∂S |
|
ɺ |
= |
∂S |
+ |
|
|
ɺ |
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
∂t |
∂q |
qi |
∂t |
∑ pi qi . |
||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Осы екі өрнекті салыстыра отырып |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂S = L − ∑ pi qɺi |
, |
|
|
|
(8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
немесе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂S = −H . |
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = H (p , q ) жəне |
∂S |
= p |
|
еске |
|
|
түсіре |
|
отырып, |
S (q,t ) функциясын |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i i |
∂qi |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
қанағаттандыратын теңдеуді аламыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂S |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂S |
|
|
∂S |
|
|
= 0 , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
,..., qs |
; |
|
|
|
,..., |
|
|
|
|||||||
|
|
∂t |
+ H q1 |
∂q1 |
∂qs |
|
;t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
бұл бірінші ретті дербес туындылы теңдеу; оны Гамильтон-Якоби те деуі деп атайды.
Лагранж теңдеулері жəне канондық теңдеулер сияқты Гамильтон-Якоби теңдеуі де қозғалыс теңдеулерін интегралдаудың негізгі тəсілдерінің бірі болып табылады.
119
Кеплер есебі үшін осы теңдеуді жазайық, бұл есептің Гамильтон функциясы
H = |
p2 |
+ U (r ) , |
(11) |
|||||
2m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Гамильтон-Якоби теңдеуін жазатын болсақ |
|
|||||||
∂S = − |
p2 |
+ U (r ) |
(12) |
|||||
2m |
||||||||
∂t |
|
|
|
|
|
|||
мұндағы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
∂S |
. |
(13) |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂r |
|
|||
(13) өрнегін (12)-ге қойсақ
∂S |
|
1 ∂S 2 |
|||
∂t |
= − |
|
|
|
+ U (r ). |
|
|||||
|
2m |
∂r |
|
||
Декарт координаттар жүйесінде
∂S |
|
1 |
|
|
∂S |
2 |
∂S |
2 |
|
|
∂S |
2 |
|
+ U (r ) |
= − |
|
+ |
|
+ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂t |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
||||
|
2m |
|
∂x |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|||
Полярлық координаттар жүйесін қолдансақ
|
∂S |
|
1 |
∂S 2 |
|
1 |
|
|
∂S 2 |
α |
|
|||
− |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
∂t 2m ∂r |
|
2mr |
|
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
||||||||
(14)
(15)
(16)
Енді осы Гамильтон-Якоби тəсілін толығырақ қарастыралық. Жалпы жағдайда бірінші ретті дербес туындылы диференциалды теңдеулердің шешімі кез-келген функцияға тəуелді болады. Мұндай шешімді жалпылама шешім немесе жалпы интеграл деп атайды. Механикада Гамильтон-Якоби теңдеуінің жалпы интегралы емес, көбіне толы интегралы негізгі рөл атқарады. Дербес туындылы диференциалды теңдеулердің толық шешімі деп қалауымызша алынған неше тəуелсіз тұрақты болса, соншама тəуелсіз айнымалысы бар болатын теңдеулердің шешімін айтатыны белгілі.
Гамильтон-Якоби теңдеулерінде тəуелсіз айнымалылар – уақыт пен координата болып табылады. Сондықтан еркіндік дəрежесі s - ке тең жүйенің теңдеуінің толық интегралының s +1 қалауымызша алынған тұрақтылары бар. Гамильтон-Якоби теңдеулерінің толық интегралы
120