теорет.механика
.pdfC6 = ϕ3 (x0 , y0 , z0 ,t0 ,C1 ,C2 ,C3 )
Сонымен qi жəне qɺi деген шамаларға тəуелді кейбір функциялар қозғалыс кезінде өзінің бастапқы шарттарға тəуелді осы мəндерін сақтап қалады. Осы функциялар қозғалыс интегралдары деп аталады.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Динамиканың негізгі есебі.
2.Механиканың детерминизмі.
3.Қозғалыстың бірінші интегралы.
4.Қозғалыстың екінші интегралы.
5.Бастапқы шарттар қалай беріледі?
6 Еркін материалдық нүктенің Лагранж функциясы. Материалдық бөлшектер жүйесінің Лагранж функциясы. Ең аз əсер принципі немесе Гамильтон принципі. Лагранж теңдеулері жəне ең аз əсер принципі
1788 жылы француз математигі Лагранж (La Grange) жəне 1834 жылы ирланд математигі Гамильтон механиканың принциптерін энергияның сақталу заңдары арқылы көрсетті.
Лагранж теңдеулерін қорытамыз. Ол үшін қандай да бір координата – qi
жəне жылдамдық – qɺi |
арқылы сипатталатын функцияны қарастырамыз. |
|
|||||||
Сонымен, |
L(qi , qɺi |
) – |
Лагранж функциясы немесе кинетикалы потенциал |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
|
деп аталады. |
Лагранж |
функциясы |
кинетикалық энергия T = |
|
жəне |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
потенциялық энергия (U ) айырмасына тең: |
|
|
|||||||
|
|
|
L = |
mv2 |
−U = T −U . |
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Еркін материалдық нүктенің Лагранж функциясы |
|
|
|||||||
|
|
|
|
L = mv2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
(2) |
Мұндағы m – материалдық нүктенің массасы деп аталады. Лагранж функциясының аддитивті қасиеті бойынша, бір-бірімен əсерлеспейтін материалдық нүктелер үшін:
L = ∑ |
ma va2 |
. |
(3) |
|
2 |
||||
a |
|
|
21
Енді т$йы ж йеде, яғни тек бір-бірімен ғана əсерлесетін нүктелер жиыны үшін Лагранж функциясын жазып көрелік. Материалдық нүктелердің бірбірімен əсерлесуі жоғарыдағы (3) өрнекке U функциясын қосып жазамыз
L = ∑ |
ma va2 |
− U (r1 , r2 ,...) . |
(4) |
|
2 |
||||
a |
|
|
Мұндағы ra – a материалдық нүктесінің радиус векторы. Сонымен (4) тұйық жүйенің Лагранж функциясының жалпы түрі болып табылады. Мына қосынды
|
T = ∑ |
ma va2 |
|
, |
(5) |
|
|
|
|
||||
|
a |
2 |
|
|
|
|
кинетикалы энергия, ал, U – |
потенциалды энергия деп аталады. |
|
||||
Мынадай есепті қарастырайық. Лагранж функциясынан уақыт бойынша |
||||||
алынған анықталған интегралын W – |
|
деп белгілейміз жəне оны «əсер» деп |
||||
атаймыз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
W = ∫ Ldt . |
|
|
(6) |
||
|
|
to |
|
|
|
|
Мақсатымыз t − to – |
интегралдау |
шектері аралығындағы |
W -ның |
|||
минимумын табу, яғни əсер фукциясының мəні ең аз болатындай қозғалыс түрін келтіру. W – функциясын зерттеу осы функцияның қозғалыс теңдеуін жазуға келтіреді.
Эйлер осы есепті шешу барысында, функционалдарды қолдану арқылы, математикадағы жаңа əдіс – вариациялау əдісін тапты.
Вариациялық есептеулердегі вариациялау дифференциалдау тəрізді "δ " грек əрпімен белгіленеді. Мысалы, Φ функциясының x жəне y айнымалылары бойынша толық дифференциалы:
dΦ = ∂Φ dx + ∂Φ dy
∂x ∂y
болса, вариациялау:
δΦ = ∂Φ δx + ∂Φ δy ∂x ∂y
(7)
(8)
болады. Вариациялау да дифференциалдау сияқты коммутативті (кез келген тəртіп бойынша бірінен соң бірі жазыла береді):
d (δΦ) = δ (dΦ) жəне δ (xn )= nxn −1δx . |
(9) |
22
Енді W – функциясының экстремумын табуға көшейік. Лагранж функциясы кинетикалық жəне потенциалдық энергияларының айырмасы болғандықтан, бұл функция жылдамдық пен координатаның функциясы болады. Бұл координаталар: тікбұрышты, сфералық, цилиндрлік, параболалық жəне т.б. болуы мүмкін. Сондықтан жалпылама координата – qi мен жалпылама
жылдамдық – qi пайдаланамыз. Мысалы, тік бұрышты координаттар жүйесі |
|||||
ɺ |
|
|
|
|
|
үшін: |
|
|
|
|
|
q1 = x, |
qɺ1 = vx , |
|
(10) |
||
q2 = y, жəне q2 |
= vy , |
|
|||
|
ɺ |
|
|
|
|
q = z, |
ɺ |
= vz . |
|
|
|
3 |
q3 |
|
|
||
Жалпылама координаттарда жазылған Лагранж функциясы: |
|
||||
L = L(qi , qi ) = L(q1 , q2 |
,...qi , q1 |
, q2 |
,...qi ) |
(11) |
|
ɺ |
|
ɺ |
ɺ |
ɺ |
|
жəне Лагранж функциясы уақытқа тəуелді болуы мүмкін. (9) – ті (6)-ге қойып жəне вариациялап:
t |
t |
δW = δ ∫ Ldt = ∫δLdt
t0 t0
δL вариациясын табамыз:
δL = |
|
|
∂L |
δq |
|
+ |
∂L |
δqɺ |
|
|
|
|
i |
|
, |
||||
|
|
|
|||||||
|
∑ |
∂qi |
|
|
∂qi |
|
i |
||
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
(12)
(13)
(13) – ні (12)-ге қойып:
|
t |
∂L |
i |
|
∂L |
|
|
|
|
∫ ∑ |
|
|
|
i |
|||
δW = |
|
|
∂qi |
δq |
+ |
∂qɺi |
δqɺ |
dt . |
|
t0 |
i |
|
|
|
|
||
Екінші мүшені жеке қарастыратын болсақ:
t |
∂L |
ɺ |
t |
∂L |
|
dqi |
||
∫ |
|
|
|
|
δ |
|
dt |
|
t0 |
∂qɺi |
|
t0 |
∂qi |
|
dt |
||
дифференциалдау мен вариациялау коммутативті болғандықтан, қолдану тəртібі ауысып келе береді:
δdqi = d δqi . dt dt
(14)
(15)
оларды
(16)
23
Одан ары:
t |
∂L |
|
dq |
i |
|
t |
∂L d |
(δqi |
)dt . |
|||
∫ |
|
|
δ |
|
dt = ∫ |
|
|
|
||||
|
|
|
∂qɺi dt |
|||||||||
t0 |
∂qɺi |
|
dt |
t0 |
|
|
||||||
(17) бөліктеп интегралдау əдісін қолдана отырып:
t |
|
∂L d |
(δqi |
)dt = |
∂L |
|
|
|
|
е |
|
t |
d ∂L |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δqi |
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
|
δqi dt = |
|||||||||
∂qɺ |
i |
|
|
dt |
∂qɺ |
i |
|
|
|
dt |
∂qɺ |
i |
|||||||||||||||||||
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
|
t |
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
δqi |
|
= |
|
|
|
δqi |
|
− |
|
|
δqi |
|
= 0 |
= |
|||||||||
|
|
|
|
ɺ |
|
ɺ |
|
ɺ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂qi |
|
t0 |
|
∂qi |
|
|
|
t |
|
|
|
|
∂qi |
|
|
t0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −∫ |
d |
|
|
∂L |
|
δqi dt. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
∂qɺ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17)
(18)
Вариациялау шарты бойынша бастапқы жəне соңғы нүктелер бекітілген, яғни δq(t0 ) = δq(t ) = 0 . Орнына қоямыз:
n t |
|
∂L |
|
d ∂L |
|||
δW = ∑ ∫ |
|
− |
|
|
|
||
∂qi |
dt ∂qɺi |
||||||
i=1 t0 |
|
|
|||||
|
|
|
(19) |
δqi dt = 0 . |
|
|
|
Осы жерде көріп тұрғанымыздай, δqi вариациясы кез келген мəнге ие бола алады. Жақшаның ішіндегі мəн оның коэффициенті болып табылады. Осы коэффициент нөлге тең болса ғана δW = 0 шарты орындалады. Сондықтан (19) орындалса, Лагранж функциясы үшін n дифференциалдық теңдеу бар болады:
∂L |
− |
d |
|
∂L |
= 0, i = 1,2,...n . |
(20) |
|
|
|
||||
∂qi dt ∂qɺi |
|
|||||
Осы теңдеулер Лагранж те деулері деп аталады.
Ньютон теңдеулерін алу үшін Лагранж функциясын тік бұрышты координатада жазамыз:
q1 = x, |
|
|
q2 |
= y, |
(21) |
q3 |
= z, |
|
Материалдық нүкте үшін Лагранж функциясын жазамыз:
L = |
m |
(xɺ2 + yɺ2 + zɺ2 )− U (x, y, z) . |
(22) |
|
|||
2 |
|
|
|
24
Лагранж теңдеулерін қолданып:
∂Li |
= |
∂L |
= − |
∂U d ∂Li |
= |
d |
∂L |
= |
d |
ɺ |
ɺɺ |
|||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂qi |
∂x |
∂x |
dt ∂qɺi |
|
|
mx = mx . |
||||||||||
|
|
|
|
dt |
∂xɺ |
|
dt |
|
||||||||
Басқаша айтқанда, Ньютон теңдеулерін алдық:
mɺxɺ= − ∂U , ∂x
mɺyɺ= − ∂U
∂y
mɺzɺ= − ∂U
∂z
(23)
(24)
Лагранж теңдеулерінің Ньютонның теңдеулерінен ерекшелігі сол, бұл жерде ешбір түрлендірусіз қозғалыс заңдарын кез келген координаттар жүйесінде жазуға болады. Мысалы, орталық күштің əсерінен болған күшті жазалық. Полярлық координаттарды қолданамыз:
q1 = r, q2 = ϕ.
Кинетикалық энергия:
T = m (rɺ2 + r 2ϕɺ2 ).
2
Потенциалдық энергия:
U = − α . r
Ал Лагранж функциясы:
|
L = T − U = |
m |
(r |
+ r ϕ |
)+ |
α |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ɺ2 |
|
2 ɺ2 |
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Лагранж теңдеуі екеу болады: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂L |
|
d ∂L |
|
|
|
|
α |
|
|
|
d |
(mrɺ) = 0, |
||||||||||
∂r |
− |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
+ mrϕɺ2 − |
|
||||||||||
dt |
∂rɺ |
r 2 |
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
− |
d |
|
∂L |
= − |
d |
mrϕɺ = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
∂ϕ |
|
dt ∂ϕɺi |
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||
d mrɺ = mrɺɺ dt
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
25
екенін ескеріп:
|
α |
|
2 |
|
|
mɺrɺ= − |
|
+ mrϕɺ |
|
, |
(32) |
r 2 |
|
||||
|
|
|
|
mrϕɺ = const.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Еркін бөлшектің Лагранж функциясы.
2.Бөлшектер жүйесінің Лагранж функциясы.
3.Ең аз əсер принципі.
4.Лагранж теңдеулері.
5.Тұйық жүйе дегеніміз не?
7 Гамильтон функциясы. Оның физикалық мағынасы. Гамильтонның ең аз əсер принципінен оның канондық теңдеулер жүйесін қорытып шығару
Лагранж функциясынан жылдамдық бойынша дербес туынды алатын болсақ, қозғалыс мөлшерінің шамасы шығады:
∂L |
= |
∂ 1 |
ɺ |
2 |
ɺ |
(1) |
||
|
|
|
|
|
||||
∂qɺi |
∂xɺ 2 |
(mx |
|
) = mx = Px |
||||
|
|
|
|
|
||||
Лагранждың теңдеуі координатаға тəуелді екінші ретті дифференциалды теңдеу болса, Гамильтон теңдеулері импульспен координатаға тəуелді бірінші дəрежелі дифференциалды теңдеулер жүйесі болып табылады. Берілген нүктенің орнын анықтайтын – геометриялық жəне қозғалыстың күйін сипаттайтын – динамикалық болып айнымалының екі түрінен жасалған энергияның негізгі функциясы болып табылатын механиканың есебін Гамильтон шешті. Ал енді, осы механиканың Гамильтон формасындағы есебін шешіп көрейік. Кинетикалық потенциалдың орнына Гамильтон негізгі функция ретінде толық энергияны алады.
T = |
m |
(xɺ2 + yɺ2 + zɺ2 ) |
(2) |
|
2
Ал, координата ретінде Pi , qi – айнымалыларын алады
26
P = |
∂T = mxɺ, xɺ = |
Px |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
∂xɺ |
|
|
m |
|
|
||
|
|
|
∂T |
|
|
Py |
|
|
||
|
|
= |
= myɺ, yɺ = |
|
|
|
||||
Py |
∂yɺ |
|
|
|
|
, |
(3) |
|||
|
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
∂T |
= mzɺ, zɺ = |
|
P |
|
|
||
Pz |
|
|
z |
. |
|
|||||
ɺ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂z |
|
|
m |
|
|
||
Гамильтон функциясы кинетикалық энергия мен потенциалдық энергияның қосындысына тең
|
E = H (P , q |
) = |
1 |
|
|
(P |
2 |
|
+ P 2 |
+ P 2 )+ U (x, y, z). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
2m |
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Гамильтон функциясының полярлы координатада жазылуы |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
m |
(r |
|
+ r ϕ |
). |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ɺ2 |
|
|
2 |
|
ɺ2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Импульстің P жəне P |
|
проекцияларын табамыз: |
|
|
||||||||||||||||||||||
r |
ϕr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = ∂T |
= mrɺ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
= ∂T = mr 2ϕɺ2 |
||||||||||||||
|
r |
|
∂rɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕr |
|
|
∂ϕɺ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кинетикалық энергияны P жəне P |
импульс арқылы жазсақ |
|||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
P |
2 |
|
|
|
|
|
P 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
P 2 |
|
|||||
|
T = |
|
|
|
|
|
r |
+ r 2 |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
= |
|
|
|
P 2 + |
ϕ |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
r |
4 |
|
|
|
|
r |
r |
2 |
|
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
2m |
|
|
|||||||||
(4)
(5)
(6)
(7)
Сонымен, полярлы координата жүйесінде Гамильтон функциясының түрі:
|
1 |
|
|
|
P 2 |
|
+ U (r,ϕ ) . |
|
|
H = |
P 2 |
+ |
ϕ |
|
(8) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
r |
2 |
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
||
Гамильтон функциясы мен Лагранж функциясының айырымы неге тең, соны жазып көрсек,
L = T − U ,
(9)
H = T + U .
болатынын ескерсек
L + H = 2T |
(10) |
|
|
H − L = 2U |
|
Біртекті функцияларға арналған Эйлер теоремасын еске түсірелік
27
|
|
2T = ∑ |
∂T |
qɺi |
|
(11) |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i ∂qɺi |
|
|
|||
анықтама бойынша P = |
∂T |
, сондықтан |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
i |
∂qɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T = ∑ Pi qɺi |
|
(12) |
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
(10)-ды (12)-ге қойып |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
L + H = ∑ Pi qɺi |
|
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
немесе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∑ Pi qɺi |
− H |
|
(14) |
||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Лагранж функциясының (14) түрін пайдаланып əсер функциясы |
– W |
||||||||
Гамильтон функциясы арқылы жазамыз: |
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
∑ Pi qɺi |
− H |
|
(15) |
||
|
|
W = |
|
dt |
|||||
|
|
t∫0 |
i |
|
|
|
|
||
Əсер функциясы – W ның жаңа түрін пайдаланып, ең аз əсер принципіне арналған жаңа өрнекті аламыз:
t |
|
∑ Pi qɺi |
|
t |
δ ∑ Pi qɺi |
|
(16) |
δW = δ |
|
− H dt = |
|
− δH dt |
|||
t∫0 |
i |
|
t∫0 i |
|
|
||
Бұл функция Pi |
, qi |
, qi – |
айнымалыларынан тəуелді болғандықтан, оны осы |
||||||||||||||
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мəндер бойынша вариациялаймыз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
δH = ∑ ∂H δqi |
+ ∂H δPi |
|
|
(17) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
∂q |
i |
∂P |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
δW = |
t |
|
|
+ qɺ |
|
δP − |
∂H |
δq |
|
− |
∂H |
|
(18) |
|||
|
|
Pδqɺ |
i |
i |
|
i |
|
δP dt |
|||||||||
|
|
|
∫ ∑ i |
|
|
|
i |
∂qi |
|
|
∂Pi |
i |
|
||||
|
|
|
t0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Жылдамдықтың вариациясынан құтылуға болады:
28
t |
t |
|
dqi |
t |
d |
|
|
|
∫ Piδqɺi dt = ∫ Pi |
δ |
dt =∫ Pi |
δqi dt |
(19) |
||||
dt |
|
|||||||
t0 |
t0 |
|
t0 |
dt |
|
|||
(19) – интегралдаймыз
t |
d |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
dP |
|
|
|
|
t |
dP |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ Pi |
|
δqi dt = |
Piδqi |
|
|
− ∫ |
|
i |
δqi dt = − ∫ |
i |
δqi dt |
(20) |
||||||||||
dt |
|
|
dt |
dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 t0 |
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|||
(20) – ны (18)-ге қойып |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
δqɺ |
|
+ qɺ |
|
δP − |
∂H |
δq |
|
− |
∂H |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
P |
i |
i |
|
|
i |
|
δP dt = |
|
|||||||||||
|
∫ ∑ i |
|
|
|
|
i |
|
∂qi |
|
|
|
∂Pi |
i |
|
|
|||||||
|
t0 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
|
|
|
dP |
|
∂H |
dq |
|
|
∂H |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||||||
= |
∫ |
∑ |
− |
i |
− |
∂q |
δqi |
+ |
|
− |
δPi dt =0 |
(21) |
||||
dt |
dt |
|||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
||||||
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
||
Механиканың ең аз əсер принципі орындалу үшін мына жақшаның ішіндегі айырмалар нөлге тең болу керек:
−dPi − ∂H = 0 , dt ∂qi
dqi |
− |
∂H |
= 0 . |
(22) |
dt |
∂P |
|||
|
|
i |
|
|
Немесе
dPi |
|
|
∂H |
|
||
|
|
|
= − ∂qi |
, |
||
dt |
||||||
|
dqi |
|
= |
∂H |
|
|
|
|
|
∂P . |
(23) |
||
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
Сонымен (22)– механиканың канондық теңдеулері немесе Гамильтон те деулері деп аталады.
Егер Гамильтон функциясы қандай да бір координатаға тəуелді болмаса,
мысалы qi -ге байланысты болмаса, − |
∂H = 0 = |
dPi |
болады. Яғни, сəйкес |
|
|||
|
∂qi |
dt |
|
жалпылама импульс құраушысы тұрақты болады. Мұндай координаталар
циклды координаталар деп аталады.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
29
1.Гамильтон функциясының қисықсызықты координаттарда жазылуы.
2.Біртекті функцияларға арналған Эйлер теоремасы.
3.Əсер функционалы.
4.Гамильтон теңдеулері.
5.Циклдық координаталар дегеніміз не?
30