теорет.механика
.pdf
t уақыт моментіндегі радиус-вектордың шамасы r |
-ға тең. Ал t′ |
уақыт |
||||||
моментіндегі радиус-вектордың шамасы: |
|
|
|
|
||||
|
r ′ = r + |
r . |
|
|
(14) |
|||
Ендеше t , яғни t = t′ − t уақыт |
интервалында |
M нүктесінің |
орын |
|||||
ауыстыруы: |
|
|
|
|
|
|
||
|
MM ′ = r ′ − r = |
r . |
|
(15) |
||||
Осы уақыт интервалындағы орын ауыстырудың өзгерісі орташа |
||||||||
жылдамды деп аталады: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
v = |
r |
− r |
|
= |
r . |
|
(16) |
|
t′ − t |
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
|||
Ал, t → 0 болғанда берілген уақыт мезетіндегі орташа жылдамдық лездік жылдамды деп аталады:
v = lim |
|
|
|
|
= lim |
r |
|
||
MM ′ |
(17) |
||||||||
|
|
|
|
t |
|||||
t→0 t |
t→0 |
|
|||||||
немесе |
|
|
|
||||||
|
v = |
dr |
. |
|
|
(18) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|||
r радиус-векторын тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі проекциялары арқылы жазатын болсақ:
|
|
|
+ zk . |
(19) |
r |
= xi |
+ yj |
Олай болса, жылдамдықты осы берілген тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі проекциялары арқылы жазуға болады:
|
= |
dr |
= |
dx |
+ |
dy |
+ |
dz |
(20) |
|||
v |
|
|
i |
|
j |
|
k |
|||||
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
||||
Тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі жылдамдықтың проекциялары осы координаттардан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындыға тең:
vx |
= |
dx |
= xɺ; v y |
= |
dy |
= yɺ; vz |
= |
dz |
= zɺ. |
(21) |
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|||
11
Вектордың проекцияларының көмегімен жазылған модулі:
v = |
vx2 + v2y + vz2 |
(22) |
|
немесе |
|
|
|
v = |
|
. |
|
xɺ2 + yɺ2 + zɺ2 |
(23) |
||
3.1 Жылдамдықтың радиал жəне трансверсаль құраушылары
Нүктенің кеңістіктегі қозғалысы кезінде оның r радиус-векторы ұзындығы r жəне бағыты er бойынша өзгереді деп қарастыруға болады:
|
|
r = rer , |
(24) |
|||||
мұндағы er – r бағытындағы бірлік вектор болып табылады. |
Осы өрнекті t |
|||||||
уақыт бойынша дифференциалдасақ: |
|
|
|
|
||||
v = |
dr |
= |
dr |
er |
+ |
der |
r . |
(25) |
|
|
|
||||||
|
dt dt |
|
dt |
|
||||
Яғни, жылдамдық екі құраушыдан тұрады:
1) |
dr |
er |
|
– радиус-вектормен бағыттас r – модулінің өзгерісін сипаттайды. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
der |
|
= dϕ , |
мұндағы ϕ |
– r радиус-векторының бұрылу бұрышын |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
der |
|
|
r = |
dϕ |
r – |
бұл құраушының бағыты бірлік вектор er -ға |
||||||
көрсететін болса, |
|
||||||||||||
dt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||
перпендикуляр, сондықтан бірлік вектордың дифференциалының бағыты вектордың бағытына перпендикуляр болады:
r |
der |
= r |
dϕ |
e |
(26) |
dt |
|
||||
|
|
dt ϕ |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 – сурет
12
Сонымен eϕ бірлік векторы r радиус-векторға перпендикуляр жəне оның
бағытының өзгерісін көрсетеді. Сонымен жылдамдық:
|
|
|
|
|
|
|
v = v |
+ v |
= |
dr |
e |
+ r |
dϕ |
e . |
(27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
ϕ |
|
dt r |
|
dt ϕ |
|
||
Мұндағы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v |
= |
dr |
e |
– |
жылдамдықтың радиалды құраушысы; |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
r |
|
dt r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v |
= r |
dϕ |
e |
– жылдамдықтың трансверсаль құраушысы деп аталады. |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||
ϕ |
|
|
dt |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2 Нүкте жылдамдығының полярлық координаттарда жазылуы
Нүкте жазықтықта қозғалса оның қозғалыс заңын полярлық координаттарда мына теңдеулер арқылы жаза аламыз:
r = r(t) , ϕ = ϕ(t) . |
(28) |
Ал жылдамдықты құраушылары арқылы жазатын болсақ:
v = v |
+ v |
p |
= v e |
+ v e . |
(29) |
r |
|
r r |
ϕ ϕ |
|
Мұндағы: vr = rɺ; vϕ = rϕɺ . Жылдамдықтың модулі:
v = vr2 + vϕ2 немесе v2 = rɺ2 + r 2ϕɺ2 . |
(30) |
3 – сурет
13
Осындай нəтижені dS доғаның элементі арқылы да алуға болады. Ол үшін (3-суреттегі) M1M 2 P шексіз аз қисықсызықты үшбұрышты қарастырамыз.
PM1 – радиусы r -ға тең шеңбердің доғасы берілген. |
Пифагор теоремасын |
қолдансақ: |
|
(M1M 2 )2 = (PM 2 )2 + (M1P)2 |
(31) |
M1M 2 = dS , PM 2 = dr болған жағдайда: |
|
M1P = rdϕ . |
(32) |
Ендеше:
dS 2 = dr 2
Осы өрнекті dt 2 -ға бөлетін болсақ:
dS 2 |
dr 2 |
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||
|
dt |
dt |
|||
+r 2dϕ 2 .
+r dϕ 2 = v2 .dt
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Орташа жылдамдық дегеніміз не?
2.Лездік жылдамдық дегеніміз не?
3.Жылдамдықтың радиал құраушысы.
4.Жылдамдықтың трансверсаль құраушысы.
5.Полярлық координаттардағы жылдамдықтың өрнегі.
(33)
(34)
4 Механиканың заңдары. Галилейдің салыстырмалық принципі. Инерциалды санақ жүйелері. Механиканың детерминизмі. Ньютонның қозғалыс теңдеулері
Механиканың негізгі ұғымдары арасындағы қатынастар қозғалыстың негізгі заңдары (Ньютонның заңдары) мен аксиомалар арқылы түсіндіріледі.
Ньютонның 1-заңы. Егер тыныштықтағы немесе бірқалыпты жəне түзу сызықты қозғалыстағы денеге сыртқы күштер əсер етпесе ол өзінің бастапқы қозғалыс күйін сақтайды.
Механиканың осы бірінші заңы инерция заңы деп аталады жəне мұндағы күш дененің инерттік күйін өзгертуші себеп ретінде түсіндіріледі. Осы заң бойынша, денеге сыртқы күштердің əсері болмаса, ол қарапайым, түзу сызықты инерциалды қозғалады немесе өзінің тыныштық күйін сақтайды. Яғни, дененің жылдамдығы мəні бойынша да, бағыты бойынша да сақталады, ал үдеуі нольге
14
тең болады. Егер де денеге күш əсер етсе, жылдамдығы өзгереді де, үдеу пайда болады.
Ньютонның 2-заңы. Қозғалыс мөлшерінің өзгерісі əсер етуші күшке пропорционал жəне осы күштің бойымен бағытталған.
Қозғалыс мөлшері, Ньютонның анықтамасы бойынша, масса мен жылдамдықтың көбейтіндісіне пропорционал. Ал оның уақыт бойынша
өзгерісін d (mv) шамасы арқылы өрнектесек, Ньютонның 2-заңын төмендегіше dt
жазуға болады:
|
|
|
d (mv ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= F , |
(1) |
|
|
|
|
dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
егер дененің массасын тұрақты деп есептесек, |
|
||||||||
|
|
|
|
dv |
|
|
|||
|
|
|
m |
|
= F . |
(2) |
|||
|
|
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ал |
dv |
үдеу екенін ескерсек, Ньютонның 2-заңын қысқаша былай айтуға |
|||||||
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
болады: Денеге əсер етуші күш – масса мен үдеудің көбейтіндісіне тең. Бұл үдеу мен массаның арасындағы байланысты береді жəне динамиканың негізгі заңы болып табылады.
Ньютонның 3-заңы. Əсерге барлық уақытта қарсы əсер бар, басқаша айтқанда – екі дененің бір-біріне əсері мəні бойынша өзара тең, ал бағыттары қарама-қарсы болып табылады.
Егер A денесіне FA күші əсер етсе, онда бұл əсер белгілі бір B денесінің тарапынан болғаны. Сəйкесінше A денесі B -ға FB күшімен əсер етеді. 3-заң бойынша
FA = −FB |
(3) |
FA – əсер, FB – кері əсер деп аталады. |
|
Ньютонның екінші заңы қозғалысты тудырушы əсер f |
күштің – |
қозғалысты сипаттайтын шамалар: үдеу, жылдамдық жəне радиус-вектордың өзара байланысын тағайындайды. Сондықтан Ньютонның екінші заңының математикалық өрнегін қозғалыс теңдеулері деп, ал заңды механиканың негізгі қозғалыс заңы деп атайды.
Қозғалыс теңдеулерін векторлық түрде жазу үшін: 4 векторлық шамаларды қолданамыз: f (қасиеттері Ньютонның 2 жəне 3-заңдары арқылы жазылады),
қозғалыс мөлшері p = mv , жылдамдық v = dr , r :
dt
15
|
dp |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= f |
|
(4) |
|||
|
|
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dv |
= |
|
(5) |
||||
m |
|
|
|
|
f |
|||||
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
r |
= |
(6) |
|||||
m |
|
|
|
|
f |
|||||
dt |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Егер f , p,v ,r шамаларын үш |
|
|
өзара перпендикуляр |
векторлардың |
||||||
қосындысы арқылы жазсақ, бұлардың əрқайсысы тік бұрышты координаттар жүйелеріндегі проекцияларының мəнін береді:
|
|
|
+ |
|
|
+ kpz |
(7) |
p |
= i px |
jp y |
|||||
|
|
|
+ |
|
|
+ kvz |
(8) |
v |
= i vx |
jv y |
|
||||
|
|
|
|
|
+ kz |
(9) |
|
|
r |
= i x + |
jy |
||||
|
|
|
+ |
|
|
+ kf z |
|
f |
= i f x |
jf y |
|
(10) |
|||
i, j ,k таңдап алынған координаттар жүйесінің бірлік векторлары. (4)-(7)
пайдаланып қозғалыс теңдеулерін былай жазуға болады:
|
|
|
dp |
x |
|
= f x |
, |
dp y |
|
= f y , |
|
dp |
z |
|
= f z |
(11) |
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
dv |
x |
|
|
= f x |
, m |
dvy |
|
|
= f y |
, m |
|
dv |
z |
= f z |
(12) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
d 2 x |
|
= f x |
, m |
d 2 y |
= f y |
, m |
d 2 z |
= f z |
(13) |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
||||||
Осы жерде күшті нольге теңестірсек, қозғалыс теңдеулері оңай шешіледі. Траектория түзу сызықты, жылдамдық тұрақты болады. Яғни дене бір алыпты т зу сызы ты қозғалыста болады. Денеге сыртқы күштер əсер етпеген жағдайда ол бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болатын санақ жүйелерін инерциалды сана ж йелері деп атайды. Сонымен қатар, қозғалыс теңдеулерінің бір жағынан математикалық, екінші жағынан физикалық өте маңызды қасиетін қарастыралық. Айталық, біз осы қозғалысты қарастырып
16
отырған санақ жүйесінің өзі еркін, бірқалыпты жəне түзу сызықты қозғалсын. Мұндай санақ жүйелері де инерциалды болады, себебі бұл қозғалыстар сыртқы күштердің əсерінсіз, инерция заңы бойынша болады. Яғни санақ жүйесі тұрақты v0 жылдамдықпен тыныштықтағы санақ жүйесіне қатысты (салыстырмалы) қозғала бастасын. Осындай жүйе үшін қозғалыс теңдеуін жазамыз
x' = x − v0t |
(14) |
t = 0 уақыт моментінде x = x0
4 – сурет
r = i x + jy + kz r ′ = r − v0t
x' = x − v |
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
y' = y |
|
|
|
|
|
z' = z |
|
|
|
|
|
қозғалыс теңдеуі:
f x' = m |
d 2 x' |
= m |
d 2 |
(x − v0t ) = m |
d 2 x |
− m |
d |
(v0 ) = f x . |
dt 2 |
dt 2 |
dt 2 |
|
|||||
|
|
|
|
dt |
||||
(15)
(16)
(17)
(18)
Яғни қозғалыс теңдеуі түрін өзгертпейді. Ол қозғалыстағы санақ жүйесі үшін де, тыныштықтағы санақ жүйесі үшін де бірдей. Сондықтан қозғалыс заңдары да екі жүйе үшін бірдей болады.
17
Егер бір инерциалды санақ жүйесін таңдап алсақ, оған қатысты мəні бойынша, əрі бағыты бойынша тұрақты жылдамдықпен қозғалатын барлық санақ жүйелері инерциалды санақ жүйелері болады.
Тыныштықтағы санақ жүйесінен тұрақты жылдамдықпен қозғалатын санақ жүйесіне көшу кезіндегі координаттық түрлендірулер (11) Галилей т рлендірулері деп аталады. Галилей түрлендірулері кезіндегі қозғалыс теңдеулерінің түрін өзгертпеуі – осы қозғалыс теңдеулерінің Галилей түрлендіруіне қатысты инварианттылығы деп аталады.
Осы факт, яғни Галилей түрлендірулеріне (11) қатысты қозғалыс теңдеулерінің инварианттығы – Галилейді салыстырмалы принципі деп аталады.
Галилейдің салыстырмалық принципінің физикалық мағынасы мынадай болып табылады. Тыныштықтағы санақ жүйесі мен түзу сызықты жəне бірқалыпты қозғалыстағы санақ жүйелері үшін қозғалыс заңдары бірдей болғандықтан, мəні бойынша жəне бағыты бойынша тұрақты болатын қозғалыстарды ешбір механикалық тəжірибелер арқылы анықтау мүмкін емес. Яғни түзусызықты жəне бірқалыпты қозғалыс салыстырмалы түрде ғана анықталады.
Инерциалды санақ жүйелерінің жалпылама анықтамасын былай айтуға болады: Ньютонның инерция заңы орындалатын санақ жүйелері инерциалды санақ жүйелері деп аталады. Яғни инерциалды санақ жүйелерінде денелер сыртқы күштердің əсері болмаса, бірқалыпты түзу сызықты қозғалады. Инерциалды санақ жүйесінде кеңістік изотропты жəне біртекті болады, ал уақыт бірқалыпты жүреді.
Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы
1.Инерция заңы.
2.Ньютонның 2-заңы.
3.Ньютонның 3-заңы.
4.Инерциалды санақ жүйелері дегеніміз не?
5.Галилей түрлендірулері.
5 Бірінші, екінші қозғалыс интегралдары
Динамиканың негізгі есебі дегеніміз қозғалыс теңдеулерін шешіп, r = r (t ) траектория теңдеуін алу болып табылады. Бұл жағдайда əсер етуші күшті беру жеткіліксіз болғандықтан, нүктенің бастапқы t0 уақыт моментіндегі орны мен жылдамдығын, яғни бастапқы шарттарды тағайындап алу керек:
r |
|
|
t=t0 |
= r ; |
v |
|
t=t0 |
= v |
(1) |
|||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Декарттық тікбұрышты координаттар жүйесін қолдансақ: |
|
|||||||||||
x |
|
t=t0 |
= x0 ; |
xɺ |
|
t=t0 |
= xɺ0 |
|
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
18
y |
|
|
t =t0 |
= y0 ; |
yɺ |
|
t =t0 |
= yɺ0 |
|||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
z |
|
t=t0 |
= z0 ; |
zɺ |
|
t=t0 |
= zɺ0 |
||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
Ал əсер етуші күш Ньютонның екінші заңы арқылы, арқылы беріледі.
mɺrɺ= f (r ,rɺ,t )
Декарттық жүйеде:
mɺxɺ= f x (x, y, z, xɺ.yɺ, zɺ,t ) mɺyɺ= f y (x, y,z,xɺ.yɺ,zɺ,t ) mɺzɺ= f z (x, y,z,xɺ.yɺ,zɺ,t )
(2)
яғни қозғалыс теңдеуі
(3)
(4)
Егер əсер етуші күш өзінің аргументтері r ,v ,t – нің бірмəнді функциясы болса, осы (2) қозғалыс теңдеуінің (1) шартты қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі болады.
Материалдық нүктенің r орнының жəне v жылдамдығының берілуі оның механикалық күйінің берілуі болып табылады. Жоғарыдағы қозғалыстың дифференциалдық теңдеуінің шешімінің бірмəнділігін былай түсіндіреміз: Материалдық нүктенің t уақыт моментіндегі механикалық күйі оның бастапқы механикалық күйімен жəне қозғалысының шартымен бірмəнді анықталады.
Осы жердегі нүктенің қозғалу шарты ретінде біз оның айналасындағы денелермен (12) теңдеудің оң жағындағы қорытқы күш f арқылы өрнектелген əсерлесуі деп түсінеміз.
Осы айтылған ұғым механикалық салдарлы принципі немесе механиканы детерминизмі деп аталады. Онда f (r ,rɺ,t ) математикалық функциясы – материалдық нүктенің бастапқы механикалық күйі жəне бастапқы қозғалыс шарты болып табылады. Осы механикалық күйдің t > t0 барлық уақыт моментіндегі механикалық күйінің өзгертуші себебі ретінде түсіндіріледі. Яғни
бастапқы шарттар – себеп, қозғалыс – салдары болып табылады. |
|
|||||||||
Егер (2) – қозғалысының екінші дəрежелі |
дифференциалдық |
теңдеуін |
||||||||
декарт осінде проекцияларын интегралдасақ: |
|
|
||||||||
|
|
dΦ1 |
(x, y, z, xɺ, yɺ, zɺ, t ) = 0 Φ |
(x, y, z, xɺ |
, yɺ, zɺ, t ) = C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dΦ 2 |
(x, y, z, xɺ, yɺ, zɺ, t ) = 0 Φ |
2 (x, y, z, xɺ, yɺ, zɺ, t ) = C2 |
(5) |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dΦ3 |
(x, y, z, xɺ, yɺ, zɺ,t ) = 0 Φ |
3 (x, y, z, xɺ, yɺ, zɺ,t ) = C3 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
19
Мұндағы Ci – интегралдық тұрақтылар болса, (5) қозғалыстың бірінші интегралы болады. Кейде Φ1 ,Φ2 ,Φ3 – функцияларын да бірінші озғалыс интегралдары деп те атайды. Осындай функциялар бүкіл қозғалыс кезінде (яғни нүктенің координата мен жылдамдығының өзгеруі кезінде) тұрақты болады да Ci – интегралдық тұрақтысына тең болып қалады. Φi – интеграл функциялары деп аталады.
Теңдеуді одан əрі шешу үшін екінші рет интеграл аламыз:
|
|
|
dϕ1 |
|
(x, y, z,t ,C ,C |
2 |
,C |
|
) = 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
1 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
dϕ2 |
(x, y, z,t ,C ,C |
2 |
,C |
3 |
) = 0 |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
dϕ3 |
(x, y, z,t ,C ,C |
2 |
,C |
3 |
) = 0 . |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ϕ1 (x, y,z,t ,C1 ,C2 ,C3 ) = C4 |
|
||||||||||
|
|
|
ϕ2 (x, y,z,t ,C1 ,C2 ,C3 ) = C5 |
(7) |
||||||||||
|
|
|
ϕ3 (x, y,z,t ,C1 ,C2 ,C3 ) = C6 |
|
||||||||||
ендеше |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(7)-теңдеулер қозғалыстың екінші интегралы болып табылады. ϕi – |
екінші |
|||||||||||||
интегралдың функциялары болады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(7) жүйесін нүктенің координатасына тəуелді шешетін болсақ: |
|
|||||||||||||
|
|
|
x = x(t, C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 ) |
|
||||||||||
|
|
|
y = y(t,C1 ,C2 ,C3 ,C4 , C5 ,C6 ) |
(8) |
||||||||||
|
|
|
z = z(t,C1 , C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 ) |
|
||||||||||
Бұл функциялар қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерінің шешімдері болып табылады. Олардың алты интегралдық тұрақтылары бар жəне бұл функциялар қозғалыс теңдеуінің жалпы шешімі болып табылады. Осы теңдеудің жалпы шешімін табу дегеніміз динамиканың негізгі есебін түгел
шығару болып табылады. |
|
|
t0 уақыт моментіндегі |
бастапқы шарттарын орнына қойып |
C1, C2 , C3 – |
бірінші интеграл тұрақтыларын табамыз: |
|
|
Ci |
= Φi (t0 , x0 , y0 , z0 , xɺ0 , yɺ0 , zɺ0 ) |
(9) |
Содан кейін, t = t0 (7) орнына қоямыз да, екінші интеграл тұрақтыларын |
||
табамыз. |
|
|
C4 = ϕ1 (x0 , y0 , z0 , t0 , C1 , C2 , C3 ) |
|
|
C5 |
= ϕ2 (x0 , y0 , z0 ,t0 ,C1 ,C2 ,C3 ) |
(10) |
20