22. Орталық өрістегі қозғалыс.

Егер материалдық бөлшектің потенциалдық энергиясы тек қана қандай да бір қозғалмайтын нүктеге дейінгі арақашықтығы – ға ғана тәуелді болса, ол өріс орталық өріс деп аталады.

Бөлшекке әсер етуші күш – абсолют мәні бойынша тек– ға ғана тәуелді, бағыты бойынша, әрбір нүктеге радиус вектордың бойымен бағытталған.

Полярлық координата жүйесін еңгізіп Лагранж функциясын жазамыз,

Бұл функцияда – координатасының айқын түрі жоқ. Егкр Лагранж функциясына жалпылама координатта – дің қандай да бір түрі енбесе, оны циклдік координата деп атайды.

Осыған байланысты жалпылама координатаға сәйкес импульс қозғалыс интегралы болып табылады.

Орталық өрістің тек қана екі түрінде ғана финитті қозғалыстардың траекториясы тұйықталады. Бұлар потенциалды энергиясы және - қа пропорционал өрістер болып табылады.

23. Аудандар заңы немесе Кеплердің екінші заңы.

болса, онда жалпылама импульс:

Сондықтан осы моменттің сақталуы – секторлық жылдамдықтың сақталуын қамтамасыз етеді. Яғни, қозғалыстағы радиус-вектор бірдей уақыт аралықтарында бірдей аудандарды сызады. Бұл Кеплердің екінші заңы деп аталады.

Орталық өрісте қозғалатын бөлшектің моментінің сақталуын кейде аудандар интегралы деп те атайды.

Сонымен орталық өрісте қозғалатын бөлшектің қозғалыс есебін толық шешу үшін энергия мен моментінің сақталу заңын пайдаланамыз.

,

,

Бұл өрнекті интегралдасақ,

Моменттің теңдеуі арқылы,

,

Полярлық бұрышқа қатысты теңдеуді аламыз:

24. Кеплердің бірінші заңы және үшінші заңы.

Аспан денелерінің қозғалыс заңдары, оның ішінде планеталардың Күнді айнала қозғалуының заңдары Ньютонның үш заңы мен бүкіләлемдік тартылыс заңының қарапайым салдары болып табылады.

Ньютонға дейін планеталардың Күнді айнала қозғалу заңдарын Тихо Браге бақылауларының негізінде Кеплер тапқан еді.

1.Барлық планеталардың орбиталары бір фокусында Күн орналасқан эллипс болады.

3.Әрбір планеталардың Күнді толық айналу периодтары квадраттарының қатынасы орбиталарының үлкен жарты осьтері кубтарының қатынасындай.

Кеплердің бірінші заңы планеталардың орбиталарын және олардың орбита бойымен қозғалу заңын анықтау есебінің шешімінен шығады. Ол үшін кез-келген нүктеде үнемі центрге бағытталған, шамасы сол центрге дейінгі қашықтық квадратына кері пропорционал центрлік күш әрекетінен қозғалатын материалдық нүкте қозғалысының траекториясын іздейді. Шешудің нәтижелеріне қарағанда, аспан денелерінің траекториялары жазық бетте жатады және не эллипс не парабола, не гипербола түрінде болады.

Күннен қашықтықта орналасқан планета шеңбер бойымен қозғала алуы үшін, оның жылдамдығы радиус-векторға перпендикуляр болуы керек және ол,

формуласымен анықталады.

–Күн массасы.

Егер дене жылдамдығы (1)тең болса, ол парабола бойымен қозғалады. Ал жылдамдық (1)-ден үлкен болса, аспан денесі планета деп атала алмайды, ол гиперболалық траекториямен қозғалып, бастапқы нүктеге еш уақытта қайтып оралмайды.

25. Кеплер есебі.

Бастапқы потенциалдық энергиясы болатындай оң таңбалытұрақтысы бар тартылыс өрісін қарастырамыз. «Эффективті» потенциалдық энергиясы суреттегідей болады,

болғанда ол - ке айналады, алол теріс таңбасына байланысты нөлге ұмтылады,болғанда ол мына минимумға тең болады.

Осы графиктен болған жағдайда бөлшектің қозғалыс инфинитті, ал финитті болатыны көрініп тұр.

Траекторияның формасын мына жалпы формуладан аламыз,

Осы өрнекке мәнін қойып және элементар интегралдау жүргіземіз,

Осындағы болатындай етіп– бұрышын таңдап аламыз және мынадай белгілеулер еңгізсек,

, ,

Осыларды траекторияға арналған формулаға қойсақ,

Бұл фокусы координата басында орналасқан конустық қиманың теңдеуі, мұндағы – орбитаның параметрі,- орбитаның эксцентритеті.cәйкес келетін нүкте центрге ең жақын нүкте болып табылады және ол перигелий деп аталады.

Бөлшектің өрісіндегі қозғалыс интегралын жазатын болсақ,

Осы тұрақты вектордың уақыт бойынша толық туындысын табатын болсақ,

Сонымен болады екен. Сақталып отырған векторы(Лаплас векторы) үлкен остің бойымен фокустан перигелийге бағытталған.

Егер болса, болады да орбита эллипс болады. Бөлшектің координаталарының уақытқа тәуелділігін табатын болсақ қозғалыс финитті болады. Үлкен жарты ось ескере отырып уақытты табатын болсақ,

, ,

Егер , ,,

Енді , ал бөлшек параболамен қозғалады. Перигелийге дейінгі қашықтық . Бұл жағдайда бөлшек қозғалысты тыныштық күйден бастайды да шексіздікке кетеді.

Орталық өрістегі нүктенің формуласын қарастырамыз. Нүктеге әсер ететін күш,

-масса, - тұрақты, - орталық дененің массасы, - универсал тартылыс тұрақтысы. Қарастырып отырған өрісіміз Ньютондық тартылыс өрісі болып табалыды; егерболса ,- нүктенің электр заряды, ал– орталық дененің заряды болса, қарастырып отырған өріс зарядтардың кулондық өрісі болып табылады.

Өріс, егер – тартылыс, алболса тебіліс өрісі болады. Нүктенің потенциалдық энергиясы:

Нүктенің траекториясын полярлық координатта таптық:

()және ()

Мұндағы, , ,

- орбатаның параметрі, ол фокустан жүргізілген ординатаның траекториямен қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтық,- орбитаның эксцентриситеті. Егер, конустық қима эллипс болады.