3. Жалпылама координаттар. Координаттық беттер, сызықтар. Ламэ коэффиценттері.

декарттық координаталар жүйесімен қоса қисықсызықты координаттар жүйесінің жиынтығын жалпылама координаттар жүйесі деп атайды. координатасының уақыт бойынша туындысыжалпылама жылдамдық деген ұғымды береді.

Осы жүйелердің координаттарының арасындағы өзара байланысы:

(1)

кеңістікте берілген кез келген нүкте не немесе координаталарымен анықталады. Егер координаттар жүйесінің басынан осы нүктеге дейін радиус вектор жүргізсек:

(2)

немесе қысқаша былай да жазуға болады:

(3)

–координаттардың өсу бағытын көрсететін бірлік векторлар.

Үш координаттың біреуі тұрақты ,болғанда қалған екеуі айнымалы болып қалады да, координаттық бетті сызады. Декарттық координат жүйесі жағдайында бұл координаттық бет жазықтық болып табылады. Екі координаттық беттердің қиылысуынан координаттық сызықтар пайда болады. Оларды кейде сәйкесіншесызықтар деп атайды. Мысалы, декарт координаттар жүйесінде ол сызықтар түзу болады да, түзу сызықты координаттар жүйесі деп аталады. Ал басқа координаттар жүйелерінде ол сызықтар қисық сызықты болып, оларқисық сызықты координаттар деп аталады.

Берілген координаттар жүйесінің осьтерінің оң бағытын көрсететін бірлік векторлар енгіземіз. Ал бір-біріне шексіз жақын орналасқан екі нүктенің арақашықтығының квадратын көрсетсек:

(4)

мұндағы

(5)

себебі – координаттық сызығы жанамасымен бағытталған. дербес туындысының модулі координатасының өлшем бірлігіне сәйкес келетін сызықты элементтердің мөлшері болып табылады және біз оныЛамэ коэффициенттері деп атаймыз.

(5) ні (4) ға қойып, мынаны аламыз

(6)

4. Жалпылама жылдамдық. Координаттардың ортогональды жүйесі.

Координаттық сызықтары өзара ортогональ болып келетін (яғни кез келген нүктеде координаттық сызықтар өзара перпендикуляр қиылысатын) координаттық жүйелерді ортогоналды деп атайды. Олар мына шартты қанағаттандыратын болуы керек:

(1) (1)

сондықтан

(2)

Яғни ортогоналды координаттар жүйесінде өрнегіне координаттардың дифференциалдарының квадраттары ғана енеді.

Осындай жүйеде көлемнің шексіз аз элементі:

(3)

Мысал ретінде айтатын болсақ, біз білетін декарттық, сфералық, цилиндрлік координаттар жүйелері ортогоналды координаттар жүйелеріне жатады.

(4)

5. Қисық сызықты қозғалыс жылдамдығы.

уақыт моментіндегі радиус-вектордың шамасы -ға тең. Алуақыт моментіндегі радиус-вектордың шамасы:

(1)

Ендеше , яғни уақыт интервалында нүктесінің орын ауыстыруы:

(2)

Осы уақыт интервалындағы орын ауыстырудың өзгерісі орташа жылдамдық деп аталады:

(3)

Ал, болғанда берілген уақыт мезетіндегі орташа жылдамдықлездік жылдамдық деп аталады:

(4)

немесе

(5)

1 – сурет

радиус-векторын тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі проекциялары арқылы жазатын болсақ:

(6)

Олай болса, жылдамдықты осы берілген тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі проекциялары арқылы жазуға болады:

(7)

Тік бұрышты декарттық координаттар осьтеріндегі жылдамдықтың проекциялары осы координаттардан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындыға тең:

; ;. (8)

Вектордың проекцияларының көмегімен жазылған модулі:

(9)

Немесе

(10)