9. Механиканың детерминизмі. Ньютонның қозғалыс теңдеулері.

Материалдық нүктенің орнының жәнежылдамдығының берілуі оның механикалық күйінің берілуі болып табылады.

Қозғалыстағы нүктенің қозғалу шарты ретінде біз оның айналасындағы денелермен теңдеудің оң жағындағы қорытқы күш арқылы өрнектелген әсерлесуі деп түсінеміз.

Осы айтылған ұғым механикалық салдарлы принципі немесе механиканың детерминизмі деп аталады. Онда математикалық функциясы – материалдық нүктенің бастапқы механикалық күйі және бастапқы қозғалыс шарты болып табылады.

Ньютонның екінші заңы қозғалысты тудырушы әсер күштің – қозғалысты сипаттайтын шамалар: үдеу, жылдамдық және радиус-вектордың өзара байланысын тағайындайды. Сондықтан Ньютонның екінші заңының математикалық өрнегін қозғалыс теңдеулері деп, ал заңды механиканың негізгі қозғалыс заңы деп атайды.

Қозғалыс теңдеулерін векторлық түрде жазу үшін: 4 векторлық шамаларды қолданамыз: (қасиеттері Ньютонның 2 және 3-заңдары арқылы жазылады), қозғалыс мөлшері, жылдамдық , :

(1)

(2)

(3)

Егер шамаларын үш өзара перпендикуляр векторлардың қосындысы арқылы жазсақ, бұлардың әрқайсысы тік бұрышты координаттар жүйелеріндегі проекцияларының мәнін береді:

(4)

(5)

(6)

(7)

, , (8)

, , (9)

, , (10)

10. Бірінші, екінші қозғалыс интегралдары.

(1) ,

, ,(механикалық күй)

11. Еркін материалдық нүктенің Лагранж функциясы. Материалдық бөлшектер жүйесінің Лагранж функциясы.

1788 жылы француз математигі Лагранж (La Grange) және 1834 жылы ирланд математигі Гамильтон механиканың принциптерін энергияның сақталу заңдары арқылы көрсетті.

Лагранж теңдеулерін қорытамыз. Ол үшін қандай да бір координата – және жылдамдық – арқылы сипатталатын функцияны қарастырамыз.

Сонымен, – Лагранж функциясы немесекинетикалық потенциал деп аталады. Лагранж функциясы кинетикалық энергия және потенциялық энергияайырмасына тең:

(1)

Еркін материалдық нүктенің Лагранж функциясы

(2)

Мұндағы – материалдық нүктеніңмассасы деп аталады. Лагранж функциясының аддитивті қасиеті бойынша, бір-бірімен әсерлеспейтін материалдық нүктелер үшін:

(3)

Енді тұйық жүйеде, яғни тек бір-бірімен ғана әсерлесетін нүктелер жиыны үшін Лагранж функциясын жазып көрелік. Материалдық нүктелердің бір-бірімен әсерлесуі жоғарыдағы (3) өрнекке функциясын қосып жазамыз

(4)

Мұндағы – материалдық нүктесінің радиус векторы. Сонымен (4) тұйық жүйенің Лагранж функциясының жалпы түрі болып табылады. Мына қосынды

(5)

кинетикалық энергия, ал – потенциалдық энергия деп аталады.

12. Ең аз әсер принципі немесе Гамильтон принципі.

(1)

Әсер функциясы –ның жаңа түрін пайдаланып, ең аз әсер принципіне арналған жаңа өрнекті аламыз:

(2)

Бұл функция – айнымалыларынан тәуелді болғандықтан, оны осы мәндер бойынша вариациялаймыз

(3)

(4)

Жылдамдықтың вариациясынан құтылуға болады:

(5)

(5) – интегралдаймыз

(6)

(6) –ны (4)-ге қойып

(7)

13. Лагранж теңдеулерін механиканың ең аз әсер принципінен қорытып шығару.

Лагранж функциясынан уақыт бойынша алынған анықталған интегралын – деп белгілейміз және оны «әсер» деп атаймыз:

(1)

Эйлер Әсер функциясын шешу барысында, функционалдарды қолдану арқылы, математикадағы жаңа әдіс – вариациялау әдісін тапты.

Вариациялық есептеулердегі вариациялау дифференциалдау тәрізді грек әрпімен белгіленеді.

, (2)

Жалпылама координаттарда жазылған Лагранж функциясы:

(3)

(4)

вариациясын табамыз:

(5)

(6)

Екінші мүшені жеке қарастыратын болсақ:

(7)

дифференциалдау мен вариациялау коммутативті болғандықтан, оларды қолдану тәртібі ауысып келе береді:

(8)

(9)

Интегралдау аймағында координаттар вариациясы кез келген мәнге ие бола алады. Жақшаның ішіндегі мән оның коэффициенті болып табылады. Осы коэффициент нөлге тең болса ғанашарты орындалады.

, (10)

Осы теңдеулер Лагранж теңдеулері деп аталады.